Treść zadania

Karta pracy - UKŁADY RÓWNAŃ W ZADANIACH TEKSTOWYCH
Układy równań służą do zapisywania i rozwiązywania tych zadań i problemów, w których występuje więcej niż jedna niewiadoma. Poniżej pokazano kilka przykładów, w których wykorzystano układy równań do opisu warunków zadania.
Przykład 1. Znajdź dwie liczby, jeżeli suma tych liczb jest równa 24, a ich różnica wynosi 4.
x – większa liczba
y – mniejsza liczba

Przykład 2. W klasie jest 20 uczniów, dziewcząt jest o 4 więcej niż chłopców. Ilu jest chłopców, a ile dziewcząt w tej klasie?
x – liczba dziewcząt
y – liczba chłopców

Przykład 3. Za piórnik i długopis zapłacono 25 zł. Piórnik jest o 1 zł droższy niż 2 długopisy. Ile kosztuje piórnik, a ile długopis?
p – cena piórnika
d – cena długopisu

Przykład 4. Obwód prostokąta jest równy 48 cm. Jeden bok jest o 3 cm dłuższy od drugiego. Znajdź wymiary tego prostokąta.
a – długość dłuższego boku prostokąta w cm
b – długość krótszego boku prostokąta w cm

Przykład 5. Ojciec i syn mają razem 59 lat. Siedem lat temu ojciec był cztery razy starszy od syna. Ile lat ma ojciec, a ile syn?
t – obecna liczba lat ojca
s – obecna liczba lat syna

Przykład 6. Suma 5% pierwszej liczby i 6% drugiej liczby wynosi 14,7. Znajdź te liczby, wiedząc że druga z nich stanowi 80% pierwszej.
x – pierwsza z szukanych liczb
y – druga z szukanych liczb

Zadanie do samodzielnego rozwiązania
Zadanie. Zapisz w postaci układów równań:
a) Wyznacz dwie liczby, których różnica jest równa 15, a suma wynosi 20.
b) Do kina przyszło 20 uczniów. Dziewcząt było 4 razy więcej niż chłopców. Ile było w kinie dziewcząt, a ilu chłopców?
c) Za czekoladę i 2 batoniki zapłacono 3,60 zł. Czekolada kosztowała tyle samo co 2 batoniki. Ile kosztowała czekolada, a ile batonik?
d) Obwód prostokąta jest równy 120 cm. Jeden bok jest o 6 cm krótszy od drugiego. Znajdź wymiary tego prostokąta.
e) Agata i Mariola mają razem 27 lat. Agata jest o 9 lat starsza od Marioli. Ile lat ma każda z dziewcząt?
f) Mama i córka mają razem 45 lat. Pięć lat temu mama była 6 razy starsza od córki. Ile lat ma mama, a ile córka?
g) Gdy do 20% liczby x dodamy liczbę y, otrzymamy 13. Gdy do liczby x dodamy 20% liczby y, otrzymamy 17. Znajdź te liczby.
h) Stefan ma banknoty dwudziestozłotowe i dziesięciozłotowe, razem 230 zł. Banknotów dziesięciozłotowych ma o 5 więcej niż dwudziestozłotowych. Ile ma banknotów każdego nominału?
i) Przewieziono 33 tony węgla 6 samochodami ciężarowymi o ładownościach 7 ton i 2,5 tony. Ile było samochodów o większej ładowności, a ile o mniejszej ładowności?
j) W hoteliku „Pod Różami” jest 70 miejsc noclegowych w pokojach dwuosobowych i trzyosobowych. Wszystkich pokoi jest 29. Ile jest w tym hoteliku pokoi dwuosobowych, a ile trzyosobowych?

Zadania egzaminacyjne w latach ubiegłych:
Zadanie 1.
W trakcie konkursu każda drużyna otrzymała plastelinę i 120 patyczków tej samej długości. Zadanie polegało na zbudowaniu ze wszystkich patyczków 15 modeli sześcianów i czworościanów. Który układ równań powinna rozwiązać drużyna, aby dowiedzieć się, ile sześcianów i ile czworościanów trzeba zbudować?
x – liczba czworościanów, y – liczba sześcianów

Zadanie 2.
Rodzice Jacka kupili 36 butelek wody mineralnej o pojemnościach 0,5 litra i 1,5 litra. W sumie zakupili 42 litry wody. Przyjmij, że x oznacza liczbę butelek o pojemności 0,5 litra, y – liczbę butelek o pojemności 1,5 litra. Który układ równań umożliwi obliczenie, ile zakupiono mniejszych butelek wody mineralnej, a ile większych?



Zadanie 3.
Maksymalnie załadowane ciężarówki: jedna o nośności 8 t, a druga 12 t przewiozły 520 ton węgla, wykonując w sumie 60 kursów.
Ułóż układ równań, który pozwoli obliczyć, ile kursów wykonała każda z ciężarówek.

Wyrażenia algebraiczne

Przykład 1. Masło kosztowało m złotych. Ile to groszy? Odp.
Przykład 2. Książka kosztuje m złotych, a zeszyt y złotych. Ile kosztują dwie takie książki i cztery zeszyty? Odp.
Przykład 3. Jaka jest łączna ilość nóg a kur, b owiec i c kaczek? Odp.
Przykład 4. Dorota za zakupy w sklepie płaciła banknotem stuzłotowym. Sprzedawczyni wydała jej x banknotów po 10 zł. Ile złotych Dorota zapłaciła za zakupy? Odp.
Przykład 5. Zbyś kupił 2 kg jabłek po a zł za kg, 1 kg gruszek po b zł za kg oraz 0,5 kg winogron po c zł za kg. Ile zapłacił Zbyś? Odp.
Przykład 6. Tata ma x lat, mama jest od niego o 4 lata młodsza, syn ma połowę lat taty, a córka jest o 3 lata młodsza od syna. Opisz wyrażeniem algebraicznym łączny wiek całej rodziny.
Rozwiązanie:
– wiek taty
– wiek mamy
– wiek syna
– wiek córki

Odp. Łączny wiek całej rodziny wynosi lat.
Przykład 7. Przyjrzyj się domkom budowanym z zapałek:

Ile zapałek potrzeba do zbudowania n takich domków?
Rozwiązanie:

Odp. Do zbudowania n domków potrzeba byłoby zapałek.

Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1. Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego odpowiedź na zadane pytanie.
a) Pietruszka kosztowała p groszy. Ile to złotych? ……………………………………………………………..
b) Bilet ulgowy do kina kosztuje 14 zł, a normalny 20 zł. Ile zapłacimy za x biletów ulgowych i y normalnych? ……………………………………………………………………………………………………
c) Jaka jest łączna ilość kół s samochodów i m motocykli? …………………………………………………...
d) Ile reszty otrzymała Asia z 20 zł, jeśli kupiła 4 batony po x zł za sztukę? ………………………………….
e) Ile złotych ma Jurek, jeśli w jego portfelu znajduje się a monet po 2 zł, b monet po 1 zł i c monet
po 20 gr? ………………………………………………………………………………………………………..
Zadanie 2. Jacek ma x znaczków, Tomek ma połowę tego, co Jacek, Beata ma 2 razy więcej niż Jacek, a Jurek o 5 więcej od Beaty. Opisz wyrażeniem algebraicznym, ile znaczków mają razem. Zapisz to wyrażenie jak najkrócej.





Zadanie 3. Figura przedstawiona na rysunku zbudowana jest z siedmiu sześciokątów foremnych o boku długości 1.

Oblicz obwód tej figury. Jaki obwód będzie miała figura zbudowana w podobny sposób z n sześciokątów foremnych o boku długości 1?




Zadanie 4. W wiadrze jest x litrów wody, a w beczce y litrów wody. Zapisz, ile litrów wody będzie w wiadrze, a ile w beczce, jeśli:
a) z wiadra do beczki przelejemy pół litra wody,
b) najpierw przelejemy połowę zawartości wiadra do beczki, a potem 2 litry z beczki do wiadra.








Zadania egzaminacyjne w latach ubiegłych:
Zadanie 1.
W pewnym państwie liczba osób niepełnoletnich jest równa p, pełnoletnich w wieku poniżej 60 lat jest o połowę mniej, a pozostałych dorosłych jest k razy mniej niż osób niepełnoletnich. Liczbie ludności tego państwa odpowiada wyrażenie
Zadanie 2.
W wiadrze jest x litrów wody, a w garnku y litrów wody. Ile litrów wody będzie w wiadrze, a ile w garnku, jeśli:
1. z wiadra przelejemy do garnka 1,5 litra wody;
2. przelejemy połowę wody z garnka do wiadra?
Wpisz do tabeli odpowiednie wyrażenia algebraiczne.

Zadanie 3.
Dla patrzącego z góry płytka chodnika ma kształt ośmiokąta, w którym kolejne boki są prostopadłe. Na rysunkach przedstawiono jego kształt, sposób układania płytek oraz niektóre wymiary w centymetrach. Ułożono sześć płytek.

Oblicz długość odcinka a.
Napisz wyrażenie algebraiczne, odpowiadające długości analogicznego odcinka dla pasa złożonego z n płytek.









Karta pracy - GRANIASTOSŁUP



Przykładowe zadania z rozwiązaniami




Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1. Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 6 cm, a wysokość jest równa 10 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Odpowiedź:……………………………………………………………………………………………………
Zadanie 2. Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 3 cm, a wysokość jest równa 5 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.


Odpowiedź:……………………………………………………………………………………………………...
Zadanie 3. Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 10 cm i 24 cm, a wysokość tego graniastosłupa jest równa 8 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Odpowiedź:……………………………………………………………………………………………………...
Zadanie 4. Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o bokach długości 5 cm, 3 cm,
5 cm, 9 cm, a wysokość tego graniastosłupa jest równa 6 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Odpowiedź:……………………………………………………………………………………………………...

Zadania egzaminacyjne w latach ubiegłych
Informacje do zadań 1. i 2.
Przekrój poprzeczny ziemnego wału przeciwpowodziowego ma mieć kształt równoramiennego trapezu o podstawach długości 6 m i 16 m oraz wysokości 12 m. Trzeba jednak usypać wyższy wał, bo przez dwa lata ziemia osiądzie i wysokość wału zmniejszy się o 20% (szerokość wału u podnóża i na szczycie nie zmienia się).

Zadanie 1.
Oblicz, ile metrów sześciennych ziemi trzeba przywieźć na usypanie 100-metrowego odcinka ziemnego wału przeciwpowodziowego (w kształcie graniastosłupa prostego) opisanego w informacjach. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź:……………………………………………………………………………………………………...
Zadanie 2.
Po zakończeniu osiadania ziemi, w celu zmniejszenia przesiąkania, na zboczu wału od strony wody zostanie ułożona warstwa gliny. Oblicz pole powierzchni, którą trzeba będzie wyłożyć gliną na 100-metrowym odcinku tego wału (wał ma kształt graniastosłupa prostego). Zapisz obliczenia. Wynik podaj z jednostką.



Odpowiedź:……………………………………………………………………………………………………...



Karta pracy - RÓWNANIA DO ZADAŃ TEKSTOWYCH
Przykład 1. Słoik miodu kosztuje 6 zł. Za trzy takie słoiki miodu i dwie czekolady Zuzia zapłaciła 24 zł.
x – cena jednej czekolady
równanie:
Przykład 2. Sztanga złożona z 6-kilogramowego drążka i dwóch jednakowych talerzy waży 30 kg.
x – waga jednego talerza
równanie:
Przykład 3. W sadzie dziadka Eugeniusza rosną śliwy, jabłonie i grusze. Jabłoni jest 2 razy więcej niż śliw, a grusz jest o 3 mniej niż jabłoni. Razem w sadzie rośnie 17 drzew.
x – liczba śliw
równanie:
Przykład 4. Kupiono 12 zeszytów. Zeszyty w linię były po 3,50 zł, a w kratkę po 4,50 zł. Zapłacono 49 zł.
x – liczba zeszytów w linię
równanie:
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1. Napisz odpowiednie równania:
a) Jaś złowił x okoni, dwa razy więcej płotek niż okoni i jednego szczupaka, razem 19 ryb.
…………………………………………………………………
b) Pewien towar kosztował x złotych. Jego cenę najpierw podwojono, a potem obniżono o 5 zł. Nowa cena wynosi 15 zł.
…………………………………………………………………
c) W klasie liczącej 27 uczniów jest x chłopców, a dziewcząt jest o 5 więcej niż chłopców.
…………………………………………………………………
d) Paczka rodzynek kosztuje x złotych. Paczka orzechów jest o 2 zł droższa. Trzy paczki rodzynek i dwie paczki orzechów kosztują razem 10 zł.
…………………………………………………………………
Zadanie 2. Ustal niewiadomą, oznacz ją literą x i zapisz podane zdania za pomocą równań.
a) Dwie nauczycielki, trzynaście dziewcząt i kilkunastu chłopców zajęło w autobusie 33 miejsca.
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………

b) Za trzy jednakowe czekolady i za bombonierkę, która kosztowała 8 zł, zapłaciłam 17,60 zł.
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
c) Słoik dżemu kosztuje 3,50 zł. Za 2 słoiki tego dżemu i 3 jednakowe czekolady Ania zapłaciła 16 zł.
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
d) Ala obliczyła, że jeśli co miesiąc będzie wydawać tylko 10 zł z kieszonkowego, to odkładając resztę, uzbiera w ciągu pięciu miesięcy 75 zł.
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
e) Ala jest o trzy lata starsza od Oli, a Jaś dwa razy starszy od Oli. Razem mają 63 lata.
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
f) Kapelusz z piórkiem kosztuje 110 zł. Kapelusz jest droższy od piórka o 100 zł.
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………

Zadania egzaminacyjne w latach ubiegłych:
Zadanie 1. Hania, płacąc w sklepie za trzy tabliczki czekolady, podała kasjerce 15 zł i otrzymała 0,60 zł reszty. Które z równań odpowiada treści zadania, jeśli cenę tabliczki czekolady oznaczymy przez x?
A. B. C. D.

Zadanie 2. Trzy lata temu posadzono przed domem krzew. Co roku podwajał on swoją wysokość
i teraz ma 144 cm. Jeśli przez x oznaczymy wysokość krzewu w dniu posadzenia, to informacjom z zadania odpowiada równanie

A. B. C. D.


Zadanie 3. Do pracowni komputerowej zakupiono 8 nowych monitorów i 6 drukarek za łączną
kwotę 9400 zł. Drukarka była o 300 zł tańsza niż monitor. Cenę monitora można obliczyć, rozwiązując równanie:
A.
B.
C.
D.

Karta pracy - OBLICZENIA PROCENTOWE
I. Cena netto, cena brutto, podatek VAT
Przykład 1. (Podana cena netto) Cena netto za usługę wynosi 145 zł. Do tej kwoty trzeba doliczyć 7% podatku VAT. Jaką kwotę trzeba zapłacić za tę usługę?
Rozwiązanie:
zł
(Mnożymy kwotę netto przez 1,07. Gdyby podatek wynosił 22% mnożylibyśmy przez 1,22.)
Przykład 2. (Podana cena brutto) Cena brutto towaru z 7-procentowym podatkiem VAT wynosi 535 zł. Ile wynosi cena netto towaru?
Rozwiązanie:
zł
(Dzielimy kwotę brutto przez 1,07. Gdyby podatek wynosił 22% dzielilibyśmy przez 1,22.)
Przykład 3. (Podana wartość podatku) Doliczony do towaru podatek VAT w wysokości 7% ma wartość 2,80 zł. Oblicz cenę netto i cenę brutto tego towaru.
Rozwiązanie:
zł – cena netto towaru
(Mnożymy kwotę podatku przez 100 i dzielimy przez 7, aby otrzymać cenę netto. Gdyby podatek wynosił 22% po pomnożeniu przez 100 dzielilibyśmy przez 22.)
zł – cena brutto towaru
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1. Cena netto komputera wynosi 2550 zł. Do tej kwoty trzeba doliczyć 22% podatku VAT. Jaką kwotę trzeba zapłacić za komputer?



Zadanie 2. Cena brutto towaru z 22% podatkiem VAT wynosi 732 zł. Oblicz cenę netto tego towaru.



Zadanie 3. Doliczony do pewnego towaru podatek VAT w wysokości 22% ma wartość 44 zł. Ile wynosi cena brutto tego towaru?





II. Oprocentowanie oszczędności
Przykład. Obliczmy, jaki zysk będzie miał klient po upływie 6 miesięcy od lokaty 16 000 zł złożonej na 3,8%, uwzględniając 20-procentowy podatek.
Rozwiązanie: Do obliczania odsetek można stosować wzór: , gdzie d – odsetki, k – kapitał,
p – liczba procent, t – czas oprocentowania w latach.
W tym przypadku , stąd zł
Od tej kwoty trzeba odliczyć 20% podatku, zatem ostateczny zysk wyniesie: zł
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 4. Pani Ania wpłaciła do banku 25 000 zł na lokatę oprocentowaną 4,75%. Podatek od zysku z oszczędności wynosi 20%. Ile złotych zyska pani Ania na tej lokacie po upływie roku?




Zadanie 5. Uwzględniając 20-procentowy podatek, oblicz odsetki od lokaty 2400 zł na 9 miesięcy, przy oprocentowaniu 3,7%.




Zadania egzaminacyjne w latach ubiegłych:
Zadanie 1. Uzupełnij rachunek wystawiony przez firmę budowlaną, wpisując w wykropkowanych
miejscach obliczone wartości. Zapisz obliczenia
Liczba sztuk Cena netto VAT
(22% ceny netto) Razem
Okno 1 1200 zł ………………….. ……………………
Drzwi 1 …………………… …………………… 3538 zł





Zadanie 2. Pan Jan wpłacił 1200 zł do banku FORTUNA, w którym oprocentowanie wkładów
oszczędnościowych jest równe 8% w stosunku rocznym. Ile wyniosą odsetki od tej kwoty po roku, a ile złotych pozostanie z nich panu Janowi, jeśli od kwoty odsetek zostanie odprowadzony podatek 20%?





Karta pracy - Pole koła
Iloraz długości okręgu przez średnicę okręgu jest stały. Oznaczamy go grecką literą .
Do obliczeń najczęściej używa się jej przybliżeń: lub .
Pole koła o promieniu r jest równe:

Przykład 1:
Pole koła o promieniu 4 cm jest równe:
cm2
co w przybliżeniu wynosi cm2.
Przykład 2:
Pole koła o średnicy 6 cm jest równe:
cm2
ponieważ promień r tego koła jest równy połowie średnicy, czyli cm.
Przykład 3:
Oblicz długość promienia koła o polu m2.
Rozwiązanie:



Pierścieniem kołowym nazywamy część płaszczyzny ograniczoną dwoma okręgami o wspólnych środkach. Pole pierścienia kołowego jest różnicą pola koła o promieniu i pola koła o promieniu .



Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1. Oblicz pole koła o promieniu
a) 3 cm b) 9 m c) 0,5 dm d) 15 mm
……………… ………………… ………………… …………………
Zadanie 2. Oblicz pole koła o średnicy
a) 8 cm b) 20 cm c) 3 cm d) 2,5 cm
……………… ………………… ………………… …………………

Zadanie 3. Przyjmując , oblicz pole koła o promieniu
a) 5 cm b) 8 cm c) 0,2 cm d) cm
……………… ………………… ………………… …………………
Zadanie 4. Oblicz długość promienia koła, którego pole wynosi
a) cm2 b) m2 c) dm2 d) cm2
……………… ………………… ………………… …………………
……………… ………………… ………………… …………………
……………… ………………… ………………… …………………
Zadanie 5. Oblicz pole pierścienia kołowego przedstawionego na rysunku.

……………… ………………… …………………
……………… ………………… …………………
……………… ………………… …………………

Zadanie egzaminacyjne:
Na miejscu dawnego skrzyżowania postanowiono wybudować rondo, którego wymiary (w metrach) podane są na rysunku. Oblicz na jakiej powierzchni trzeba wylać asfalt (obszar zacieniowany na rysunku). W swoich obliczeniach za  podstaw .





Karta pracy - Długość okręgu
Iloraz długości okręgu przez średnicę okręgu jest stały. Oznaczamy go grecką literą .
Do obliczeń najczęściej używa się jej przybliżeń: lub .
Długość okręgu (obwód koła) l o średnicy d wynosi:

Przykład:
Aby podać dokładną długość okręgu, należy użyć liczby .
Długość okręgu o średnicy cm jest równa cm.
Aby podać wynik przybliżony należy użyć przybliżenia liczby . Zazwyczaj przyjmujemy:
Długość okręgu o średnicy cm jest równa w przybliżeniu cm = cm.
Długość okręgu (obwód koła) l o promieniu r wynosi:

Przykład:
Długość okręgu o promieniu cm jest równa cm. W przybliżeniu wynosi cm.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1. Wyznacz dokładną długość okręgu o podanym promieniu.
a) 3 cm b) 7 cm c) 1,2 cm d) 0,9 cm
……………… ………………… ………………… …………………
Zadanie 2. Wyznacz dokładną długość okręgu o podanej średnicy
a) 5 cm b) 16 cm c) 2,4 cm d) 0,2 cm
……………… ………………… ………………… …………………
Zadanie 3. Przyjmując , oblicz długość okręgu o promieniu
a) 1 cm b) 2 cm c) 5 cm d) 7,5 cm
……………… ………………… ………………… …………………
Zadanie 4. Przyjmując , oblicz długość okręgu o średnicy
a) 4 cm b) 0,5 m c) 125 mm d) dm
……………… ………………… ………………… …………………

Zadanie 5. Oblicz średnicę i promień okręgu, jeśli długość okręgu wynosi
a) cm b) dm c) dm d) cm
……………… ………………… ………………… …………………
……………… ………………… ………………… …………………
Zadanie 6. Czy z drutu o długości 60 cm można wykonać:
a) obręcz w kształcie okręgu o promieniu 10 cm,
b) dwie obręcze, każda o promieniu 4 cm,
c) dwie obręcze, z których jedna ma promień długości 6 cm, a druga 3 cm?

Zadania egzaminacyjne w latach ubiegłych:
Zadanie 1.
Rysunek przedstawia ślad śniegu, który pozostawił jadący na nartach Adam.
Długość trasy przebytej przez Adama równa jest:
A. 350 m B. 700 m
C. 1400 m D. 2100 m


Zadanie 2.
Na lekcji jazdy konnej dzieci dosiadały konia prowadzonego po okręgu na napiętej
uwięzi o długości 5 metrów. Jaką drogę pokonał koń, jeżeli łącznie przebył 40 okrążeń?
Wynik zaokrąglij do 0,1 km.
A. Około 1,3 km B. Około 1 km C. Około 0,2 km D. Około 12,6 km

Karta pracy - PRZEKSZTAŁCANIE WZORÓW
Aby obliczyć pole trójkąta, stosuje się odpowiedni wzór.
I.
W zależności od podanych wielkości można ten wzór odpowiednio przekształcać.
II. III. IV. V.
 Co oznacza litera a w każdym ze wzorów?
………………………………………………………………………………………………………
 Co oznacza litera h w każdym ze wzorów?
………………………………………………………………………………………………………
 W jaki sposób przekształcono wzór I, aby otrzymać wzór III?
………………………………………………………………………………………………………
 W jaki sposób przekształcono wzór III, aby otrzymać wzór IV?
………………………………………………………………………………………………………
W matematyce, fizyce, technice można spotkać wiele różnych wzorów. Zależność między określonymi wielkościami zapisanymi za pomocą wzoru najczęściej jest równaniem. Wówczas przekształcenie wzoru polega na otrzymywaniu równań równoważnych.
Przykład 1:
Ze wzoru na obwód prostokąta można wyznaczyć b. Wzór ten należy wówczas traktować jak równanie o niewiadomej b.

 Od obu stron równania można odjąć wyrażenie .

 Następnie obie strony równania należy podzielić przez 2.


Przykład 2:
Wyznaczymy długość podstawy a ze wzoru na pole trapezu .




Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1. Ze wzoru na pole prostokąta wyznacz b.
Zadanie 2. Ze wzoru na długość okręgu wyznacz r.
Zadanie 3. Mocą P urządzenia nazywamy iloraz pracy W i czasu t, w którym została ona wykonana: . Z podanego wzoru wyznacz W i t.
Zadanie 4. Na wysokości h ciało o masie m ma energię potencjalną grawitacji równą: ( oznacza przyspieszenie ziemskie). Ze wzoru wyznacz kolejno m i h.
Zadanie 5. Jednym z najczęściej stosowanych wzorów w kinematyce jest wzór opisujący zależność między prędkościami , , przyspieszeniem a i czasem t: . Wyznacz a z tego wzoru.
Zadanie 6. Popularnym sposobem obliczania wagi ciała człowieka jest metoda zaproponowana przez lekarza Paula Broca.
Idealną wagę W obliczał on ze wzoru:
dla mężczyzn:
dla kobiet: ,
gdzie h oznacza wzrost osoby w cm.
Wyznacz h z podanych wzorów.
Zadanie 7. Jeżeli cenę a pewnego towaru obniżono o p%, to nową cenę c można obliczyć ze wzoru

Z podanego wzoru wyznacz p.

Zadania egzaminacyjne w latach ubiegłych:
Zadanie 1.
Objętość (V) cieczy przepływającej przez rurę o polu przekroju S oblicza się według wzoru , gdzie oznacza prędkość przepływu cieczy, t – czas przepływu. Który wzór na prędkość cieczy przepływającej przez rurę jest rezultatem poprawnego przekształcenia podanego wzoru?



Zadanie 2.
Wilgotnością drewna nazywamy stosunek masy wody zawartej w drewnie do masy drewna całkowicie suchego. Przyjęto podawać wilgotność drewna w procentach. Ich liczbę (w) obliczamy za pomocą wzoru


gdzie M oznacza masę drewna wilgotnego, a m – masę drewna całkowicie suchego. Wyznacz M w zależności od m i w. Zapisz kolejne przekształcenia wzoru.


Karta pracy - DIAGRAMY KOŁOWE
Na diagramie kołowym przedstawia się podział całości na rozłączne części.
 Jeżeli części całości wyrażone są w procentach lub za pomocą ułamka, to 100%, czyli jednej całości, odpowiada kąt o mierze 360, więc danej części z całości odpowiada kąt o mierze będącej tą częścią kąta pełnego.
Np.
20% z całości odpowiada kąt środkowy o mierze
6% z całości odpowiada kąt środkowy o mierze
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1. W sondzie internetowej zapytano, co decyduje, że młodzi ludzie wybierają dane liceum. Wyniki sondażu przedstawiono na diagramie.

a) Co młodzi ludzie biorą pod uwagę najczęściej przy wyborze liceum?
………………………………………………………………………………………………………….
b) Co dla młodzieży, spośród wymienionych wskaźników, jest najmniej ważne przy wyborze liceum?
………………………………………………………………………………………………………….
c) Co jest ważniejsze dla młodych ludzi przy wyborze liceum: kwalifikacje nauczycieli czy pozycja szkoły w rankingu?
………………………………………………………………………………………………………….
d) Czy można odczytać z diagramu, ile osób wzięło udział w tej sondzie?
………………………………………………………………………………………………………….
Zadanie 2. Na diagramie przedstawiono wyniki sondy przeprowadzonej wśród 60 uczniów, dotyczącej ulubionego zwierzątka.


a) Jaka część uczniów tej szkoły najbardziej lubi psy?
………………………………………………………………………………………………………….
b) Ile razy więcej jest miłośników kotów niż chomików?
………………………………………………………………………………………………………….
c) Ile procent uczniów wybrało inne zwierzątka?
………………………………………………………………………………………………………….
d) Ile osób spośród ankietowanych uczniów lubi rybki?
………………………………………………………………………………………………………….
e) Jaką miarę ma kąt środkowy ilustrujący na diagramie kołowym procent uczniów lubiących chomiki?
………………………………………………………………………………………………………….
Zadanie 3. Na diagramach przedstawiono skład powietrza wdychanego i wydychanego przez człowieka. Który diagram ilustruje skład powietrza wdychanego?

a) Który składnik dominuje w powietrzu wdychanym, a który w wydychanym?
………………………………………………………………………………………………………….
b) Jaka jest różnica zawartości tlenu w powietrzu wdychanym i wydychanym?
………………………………………………………………………………………………………….
c) Jaka jest różnica zawartości dwutlenku węgla w powietrzu wydychanym i wdychanym?
………………………………………………………………………………………………………….
d) Stosunek, którego składnika do ilości powietrza nie zmienia się podczas oddychania?
………………………………………………………………………………………………………….
Zadanie 4. W szkole Janka jest 250 uczniów. Diagram kołowy pokazuje, ile procent uczniów w szkole Janka obchodzi imieniny w kolejnych porach roku.

Oblicz ilu uczniów obchodzi imieniny zimą, a ile wiosną?
Zadanie 5. Według danych GUS w roku szkolnym 2002/2003 kształciło się 6,2 mln dzieci i młodzieży. Procentowy udział dzieci i młodzieży w poszczególnych rodzajach szkół przedstawiono na diagramie kołowym.

a) Uporządkuj typy szkół w kolejności od największej do najmniejszej liczby uczniów.
………………………………………………………………………………………………………….
b) Oszacuj, ile razy więcej uczniów kształci się w liceach niż w szkołach zasadniczych.
………………………………………………………………………………………………………….
c) Ile procent uczniów uczęszcza do szkół ponadgimnazjalnych?
………………………………………………………………………………………………………….
d) Oblicz, ilu uczniów uczęszczało do każdego rodzaju szkół.
………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
Zadania egzaminacyjne w latach ubiegłych:
Informacje do zadań 1. i 2.
Diagram przedstawia wyniki ankiety przeprowadzonej wśród grupy gimnazjalistów na temat
ulubionego miejsca wypoczynku. Każdy wskazał tylko jedno miejsce.

Zadanie 1.
Oblicz, ilu uczniów liczyła ankietowana grupa, jeśli nad jeziorem lubi wypoczywać
90 spośród ankietowanych gimnazjalistów. Zapisz obliczenia.
Zadanie 2.
Oblicz, jaką miarę ma kąt środkowy ilustrujący na diagramie kołowym procent uczniów
lubiących wypoczywać w górach. Zapisz obliczenia.
Informacje do zadań 3. i 4.
Procentowy udział źródeł energii zużywanej rocznie w USA.

Zadanie 3.
Energia słoneczna to zaledwie 1% energii ze źródeł odnawialnych zużywanej rocznie w USA. Ile procent energii zużywanej rocznie w USA stanowi energia słoneczna?
A. 0,06% B. 1% C. 6% D. %61

Zadanie 4.
Na diagramie kołowym zaznaczono kąt AOB. Ile stopni ma kąt AOB?
A. 21,6º B. 6º C. 3,6º D. 25º