Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 19.2.2012 (13:19)

  4) Oznaczam przez 'a' wiek najmłodszego dziecka, przez 'r' - iloraz ciągu.
  Dalej czytaj "r^2: jako "r do kwadratu" itp.
  
  Wiek dzieci to: najmłodsze: a, średnie: a*r ; najstarsze a * r^2
  
  Wiek najstarszego: a * r^2 = 9. (równanie 1)
  Suma lat wynosi: a * ( 1 + r ) + 9 = 19 ; czyli a * (1 + r) = 10. (równanie 2)
  
  Dzielę stronami równanie (1) przez (2) pozbywając się a.
  
  r^2 / (1 + r) = 9 / 10 ; mnożę przez 10 i przez 1 + r, i przenoszę wszystko na lewą stronę.
  
  10r^2 - 9r - 9 = 0 ; rozwiązuję to równanie
  delta = 9^2 - 4*10*(-9) = 441 = 21^2
  r1 = (9 - 21)/20 = -3/5 odpada bo ujemne
  r2 = (9+21)/20 = 3/2.
  
  Z równania (1) obliczam a = 9 / (3/2)^2 = 4 lata (to wiek najmłodszego)
  Ze wzoru a * r = 4 * 3/2 = 6 lat (wiek średniego)
  a wiek najstarszego 9 lat jest znany. Przy okazji sprawdzam: 6 * 3/2 = 9.
  ------------------
  
  5) Oznaczam przez r iloraz ciągu. Wtedy liczby: 4, 4r, 4r^2 są krawędziami prostopadłościanu. Ich iloczyn wynosi:
  
  4 * 4r * 4r^2 = 64 r^3 = 512 ; stąd r = 2.
  
  Krawędzie mają długości: 4, 8, 16. Obojętne która krawędź jest która bo i tak do pola powierzchni potrzebne są iloczyny każdego z każdym. Pole powierzchni wynosi:
  
  P = 2 * (4 * 8 + 4 * 16 + 8 * 16) = 448
  --------------------
  
  6) Najpierw rozwiązuję ten układ równań. Wychodzi:
  
  x = 2m + 3, y = m + 1
  
  Skoro x, m+3, y tworzą ciąg geometryczny to iloczyn skrajnych wyrazów jest kwadratem środkowego, czyli:
  
  (2m+3)(m+1) = (m+3)^2 ; Wymnażam nawiasy i przenoszę wszystko na lewą stronę:
  
  m^2 - m - 6 = 0
  
  Rozwiązaniami tego równania kwadratowego są m1 = -2 lub m2 = 3.
  -----------------
  
  7) Oznaczam przez r różnicę ciągu arytmetycznego, przez r iloraz ciągu geometrycznego. Z własności środkowych wyrazów obu ciągów dostaję:
  
  -3 + y = 2x (środkowy wyraz jest średnią sąsiednich w ciągu arytmetycznym)
  27x = y^2 (jak w poprzednim zadaniu)
  
  Z pierwszego równania: y = 2x + 3 ; Wstawiam y do drugiego równania:
  
  27x = (2x+3)^2. Wymnażam, przenoszę na jedną stronę:
  
  4x^2 - 15x + 9 = 0. Rozwiązaniami są:
  
  x1 = 3 wtedy y1= 9
  x2 = 3/4 wtedy y2 = 9/2
  
  Sprawdzenie:
  Dla pary x1, y1:
  -3, 3, 9 to ciąg aryrm. o różnicy 6 ; oraz 3, 9, 27 to ciąg geom. o ilorazie 3
  Dla pary x2, y2:
  -3, 3/4, 9/2 to ciąg aryrm. o różnicy 15/4 ; oraz 3/4, 9/2, 27 to ciąg geom. o ilorazie 6.
  ---------------

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie