Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 13.2.2012 (20:45)

  Zadanie ^8.93
  a)
  Założenie: x <> 0 czyli x E R - {0} (z powodu mianownika)
  Licznik ma być zerem, sinus jest zerem dla
  x = k * pi ; k - całkowite, różne od zera
  --------------------------
  
  b)
  Trzeba nieco poprzekształcać. Da się doprowadzić wyrażenie do postaci:
  
  (sin x - 1) cos x - (sin x - 1) sin x = (sin x - 1)(cos x - sin x) = 0
  
  Z tego wynika: albo sin x - 1 = 0 ; albo cos x - sin x = 0.
  
  Pierwszy przypadek: sin x = 1 to x = pi/2 + 2k * pi
  
  Drugi przypadek: cos x = sin x zachodzi gdy x = pi/4 + k*pi
  
  Zbiorem rozwiązań jest suma obu zbiorów x-ów, dla całkowitego k.
  --------------------
  
  c)
  Założenie: sin x <> 0 czyli x <> k * pi. (k jak zwykle całkowite)
  
  Licznik ułamka to -sin^2 x (z jedynki trygonometrycznej)
  Całe wyrażenie:
  
  = -sin^2 x + sin^3 x = (-1 + sin x) * sin^2 x = 0
  
  Sinus kwadrat nie może być zerem (z założenia, zerowe sinusy są poza dziedziną)
  zostaje sin x = 1 czyli x = pi/2 + 2k * pi
  ---------------
  
  d)
  Dziedzina:
  cos x <> 0 czyli x różne od pi/2 + k * pi
  oraz x <> pi/2 + k * pi (bo tangens musi być skończony)
  oraz x <> k * pi (bo kotangens musi być skończony)
  
  Suma wykluczeń daje x <> (pi + k) / 2
  
  Kwadrat tangensa to sin^2 x / cos^2 x, oraz ctg x = cos x / sin x.
  
  Dostaję z wyrażenia w zadaniu:
  
  sin^2 x / cos(x) + 4cos^3 x = cos x + 1/cos x
  
  Mnożę obie strony przez cos x (mogę, bo z założenia jest on niezerowy)
  
  sin^2 x + 4 cos^4 x = cos^2 x + 1
  
  i dalej, z jedynki trygonometrycznej:
  
  1 - cos^2 x + 4 cos^4 x = cos^2 x + 1
  
  i dalej, skracam jedynki, przenoszę na lewą stronę resztę
  
  4 cos^4 x - 2 cos^2 x = 0 ; czyli (4 cos^2 x - 1) cos^2 x = 0.
  
  Tylko nawias = 0 jest dozwolone więc cos^2 x = 1/4
  
  To daje:
  albo cos x = 1/2 ; albo cos x = -1/2.
  
  Warunki odpowiadają czterem zestawom kątów (pamiętaj, że kosinus jest funkcją symetryczną względem zera)
  
  
  x = pi/3 + 2k * pi albo x = -pi/3 + 2k * pi albo
  x = 2pi/3 + 2k * pi albo x = -2pi/3 + 2k * pi
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie