Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 14.2.2012 (03:59)

  Jeżeli chodzi o taką sumę, bo nie jestem pewny:
  
  S_n = \sum\limits_{k=n}^{3n} \frac{1}{k+1}
  
  to udowadniam indukcyjnie.
  
  Dla n = 1 : suma = 1/2 + 1/3 + 1/4 = 13/12 ; a to jest większe od 1.
  
  Zakładam, że twierdzenie jest prawdziwe dla n i suma wynosi S(n) > 1.
  Dowodzę prawdziwości, że S(n+1) > 1.
  
  Dla n+1 odpada wyraz 1 /(n+1) ale dopisują się kolejne trzy wyrazy. Suma S(n+1) wynosi:
  
  S_{n+1} = S_n - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{3n+2} + \frac{1}{3n+3} + \frac{1}{3n+4}
  
  Jak się pracowicie sprowadzi te ułamki do wspólnego mianownika [ a trzeba się naliczyć, pomaga zauważenie, że 1/(n+1) = 3/(3n+3) ] to wychodzi:
  
  S_{n+1} = S_n + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{(n+1)(3n+2)(3n+4)}
  
  Ponieważ ułamek powyżej jest dodatni to S(n+1) > S(n). W miarę, jak n rośnie to suma S też rośnie, a skoro na początku dla n = 1 była większa od 1 to już pozostanie większa.
  
  Sprawdziłem, że suma ta dla nieskończonego n dąży do logarytmu naturalnego z 3.
  (wynosi on około 1,0986)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie