Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 1.2.2012 (18:03)

  Zad 1).
  Oznaczam: omega - zbiór zdarzeń elementarnych, A - zbiór zdarzeń sprzyjających. Prawdopodobieństwo zdarzenia sprzyjającego to p(A). Jest ono równe stosunkowi ilości zdarzeń sprzyjających, którą oznaczam przez m(A) do ilości wszystkich zdarzeń, oznaczam ją m(omega).
  
  p(A) = m(A) / m(omega)
  
  Wyznaczam ilość zdarzeń elementarnych m(omega). Zdarzenie elementarne to wylosowanie trójki cyfr abc z podanego zbioru. Pierwszą cyfrę mogę losować na 7 sposobów, drugą na 6 (bo nie mogą się powtarzać, a jedna cyfra jest już zajęta) trzecią na 5 sposobów.
  
  m(omega) = 7 * 6 * 5 = 210. To nazywa się "wariacje bez powtórzeń" :)
  
  Zaznaczam, że nie można obliczać ilości liczb przez odjęcie od największej, 765, najmniejszej, 123, gdyż wśród tych liczb są takie, np. 222, gdzie powtarzają się cyfry.
  
  Część a)
  Liczba parzysta w tym zadaniu to taka, że w cyfrach abc cyfra c jest ze zbioru {2,4,6}. Można ją więc losować tylko na 3 sposoby. Jakkolwiek wylosuję c, to pozostaje 6 możliwości na b oraz 5 możliwości na a.
  
  m(A) = 3 * 6 * 5 = 90.
  
  Prawdopodobieństwo: p(A) = 90 / 210 = 3 / 7 = około 0,43
  
  Część b)
  Zdarzenie sprzyjające A trzeba rozbić na A1 + A2 (które się wykluczają wzajemnie)
  A1: Pierwszą cyfrą jest 6.
  A2: Pierwszą cyfrą jest coś mniejszego niż 6.
  
  Jeśli pierwszą cyfrą jest 6 to druga musi być mniejsza od 4 czyli ze zbioru {1,2,3}
  Drugą cyfrę losuję na 3 sposoby a trzecią na 5 (bo odpada 6 i druga cyfra)
  
  m(A1) = 1 * 3 * 5 = 15.
  
  Jeśli pierwsza cyfra jest < 6, czyli ze zbioru {1,2,3,4,5} to losuję ją na 5 sposobów. Drugą na 6 sposobów (jedna cyfra już zajęta), trzecią na 5 sposobów.
  
  m(A2) = 5 * 6 * 5 = 150
  
  Zdarzenia A1 i A2 są rozłączne więc m(A) = m(A1) + m(A2) = 150 + 15 = 165.
  
  Prawdopodobieństwo p(A) = 165 / 210 = około 0,79
  
  ----------------------
  
  Zad 2.
  To jest na prawdopodobieństwo warunkowe.
  
  LaTeX coś dziś nawala i nie mogę używać symboli U i odwrotne U, zastąpię je znakami +,*.
  
  Część a)
  
  Zdarzenie A jest tak naprawdę iloczynem zdarzeń A * L, gdzie L oznacza losowanie 2 kul z pojemnika.
  Zdarzenie L jest pewne - kule wylosowano. Rozkłada się ono na dwa rozłączne zdarzenia:
  L1 - losowano z pojemnika 1
  L2 - losowano z pojemnika 2.
  A - wyciągnięto różnobarwne kule.
  
  Ze wzoru: A * L = A * (L1 + L2) = A*L1 + A*L2
  
  dostaję wzór na prawdopodobieństwo warunkowe (oznaczane symbolem "|")
  
  p(A) = p(A * L) = p(A | L1) p(L1) + p(A | L2) p(L2)
  
  co się czyta tak: Prawd. że wyciągnę różne kule =
  prawd., że wyciągnę je z pojemnika 1 RAZY prawd, że będzie to pojemnik 1 plus
  prawd., że wyciągnę je z pojemnika 2 RAZY prawd, że będzie to pojemnik 2.
  To jest dość logiczne, jak się zastanowisz.
  
  Obie wartości p(L1) = p(L2) = 0,5 bo pojemniki wybierane są losowo.
  Natomiast poszczególne prawdopodobieństwa obliczam ze wzoru na kombinacje, nie mogę go napisać inaczej ze względu na cholerny LaTeX.
  5 nad 1 to symbol Newtona.
  p(A | L1) = (5 nad 1) * (4 nad 1) / (9 nad 2) = 5 * 4 / 36 = 20 / 36
  p(A | L2) = (4 nad 1) * (5 nad 1) / (9 nad 2) = 4 * 5 / 36 = 20 / 36
  
  Całość:
  
  p(A) = 2 * 20 / 36 * 0.5 = 5 / 9 = około 0,55
  
  Część b)
  Tu jest prościej, bo biorę pod uwagę tylko pierwsze losowanie, czyli:
  
  p(A | L1) = 5 / 9 ; wiesz, czemu? 5 białych na 9 wszystkich.
  p(A | L2) = 4 / 9
  
  p(A) = (5/9 + 49) * 0.5 = 0,5
  
  Zauważ, że wynik w części (a) jest WIĘKSZY niż 0,5, choć w sumie w obu pojemnikach jest tyle samo kul każdego koloru (po 9 razem).
  To NIE jest pomyłka! Wylosowanie białej kuli za pierwszym razem ZWIĘKSZA szansę na wyciągnięcie kuli innego koloru za drugim razem - białych zostało mniej, a czerwonych tyle samo. Natomiast w części (b) można spokojnie zmieszać oba pojemniki gdyż jest tylko 1 losowanie.
  
  Gdybym zmieszał pojemniki w części (a) to jest 18 kul, po 9 każdego koloru, i losowanie 2 różnobarwnych daje:
  p(A') = (9 nad 1) * (9 nad 1) / (18 nad 2) = 9^2 / 153 = około 0,53
  Oczywiście też więcej niż 0,5 z powodu jak wyżej, ale NIE to samo 0,55.
  
  Możesz się zastanowić, czemu jest inaczej, rachunek prawd. wcale nie jest taki nudny :)
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie