Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 20.10.2011 (11:36)

  a)
  Jedno rozwiązanie trzeba odgadnąć, szukając wśród podzielników liczby 14 (wyrazu wolnego). Jak się zgadnie więcej, to tym lepiej.
  Podstawiam do równania liczby: 1, -1, 2, -2, 7, -7, 14, -14
  Pasuje x = 2. Jest to pierwszy pierwiastek. Dzielę wielomian przez x - 2.
  Aby uniknąć dzielenia "pod kreskę" sugeruję, że wielomian jest iloczynem:
  
  (x^2 + Ax + 7) * (x - 2)
  
  (u mnie x^2 oznacza do kwadratu, bo zapisu "x2" jakoś nie lubię).
  Dlaczego taka postać wielomianu? Przy x^2 musi stać jedynka, bo przy x^3 jest współczynnik 1. Wyraz wolny musi byc równy +7, aby, mnożony przez -2 dawał -14. Do obliczenia pozostaje 'A'. Wymnażam nawiasy i porównuję z wielomianem w zadaniu
  
  x^3 + (A - 2) x^2 + (7 - 2A) x - 14 = x^3 - 2x^2 + 7x - 14
  
  Współczynniki przy tych samych potęgach x muszą być równe, co prowadzi do:
  
  A - 2 = -2
  7 - 2A = 7 ; Jednoznacznie wychodzi A = 0.
  
  Równanie z zadania mogę więc zapisać tak:
  
  (x^2 + 7) * (x - 2) = 0
  
  Wyrażenie w pierwszym nawiasie jest zawsze dodatnie więc równanie ma jedno rzeczywiste rozwiązanie: x1 = 2.
  
  b)
  Albo pierwszy nawias równa się zero, co daje równanie:
  
  x^2 - 16 = 0 ; stąd x1 = -4 oraz x2 = 4
  
  albo drugi nawias równa się zero, co daje równanie:
  
  x^2 + 3x - 4 = 0 ; rozwiązuję je.
  
  Delta = 3^2 - 4 * (-4) = 25 = 5^2
  
  x3 = (-3 - 5) / 2 = -4 ; x4 = (-3 + 5) / 2 = 1
  
  Równanie ma 3 pierwiastki: podwójny x1 = x3 = -4 ; x2 = 4 ; x4 = 1
  
  c)
  Można wyłączyć x przed nawias i mam jedno rozwiązanie x1 = 0. Zostaje:
  
  x^2 - 3x - 4 = 0 ; to rozwiązuję
  
  Delta = (-3)^2 - 4 * (-4) = 25 = 5^2
  
  x2 = (3 - 5) / 2 = -1 ; x3 = (3 + 5) / 2 = 4
  
  Istnieją 3 rozwiązania: x1 = 0; x2 = -1 ; x3 = 4
  
  d) Można zgadywać rozwiązania jak w (a), ale po przyjrzeniu się wielomianowi można też zauważyć, że da się on zapisać następująco:
  
  x^2 * (x -2) - 3 * (x - 2) = (x^2 - 3) * (x - 2) = 0
  
  Stąd od razu mam 3 rozwiązania:
  x1 = -pierwiastek(3) ; x2 = +pierwiastek(3) ; x3 = 2
  
  e)
  Można wyciągnąć x przed nawias i dostać x1 = 0. Zostaje:
  
  -2x^2 -x + 1 = 0 ; rozwiązuję to:
  
  delta = (-1)^2 - 4 * (-2) = 9 = 3^2
  
  x2 = (1 - 3) / (-4) = 1/2 ; x2 = (1 + 3) / (-4) = -1.
  
  Równanie ma 3 rozwiązania:
  x1 = 0 ; x2 = 1 / 2 ; x3 = -1

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie