Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 16.10.2011 (15:37)

  1. Wyznacz wszystkie liczby 2 cyfrowe(lub wykaż ze takie nie istnieją) ktore podzielone przez sumę swoich cyfr dają połowę sumy swoich cyfr.
  
  Dwucyfrową liczbę mogę zapisać w postaci: 10 * a + b
  gdzie a jest jedną z cyfr 1..9, b jest jedną z cyfr 0...9.
  Warunek zadania sprowadza się do:
  
  \frac{10a + b}{a+b} = \frac{1}{2}(a+b)
  
  Mnożę obie strony przez a + b, mnożę przez 2, wymnażam kwadrat (a+b)^2
  
  20a + 2b = a^2 + 2ab + b^2
  
  Przekształcam powyższe równanie tak, aby dostać równanie kwadratowe na 'a'.
  
  a^2 + (2b-20)\,a + b^2 - 2b = 0
  
  Warunek istnienia rozwiązania: wyróżnik (delta) >= 0
  
  \Delta = (2b-20)^2 - 4\,(b^2 - 2b) = 400 - 72b
  
  Oznacza to, że 400 - 72 * b >= 0, czyli b może być cyfrą 0,1,2,3,4,5.
  Jednocześnie pierwiastek z delty musi być kwadratem liczby całkowitej, aby 'a' miało szansę być całkowite. Dla kolejnych 'b' ze zbioru {0,1,2,3,4,5} wyrażenie 400 - 72 * b ma wartości:
  400, 328, 256, 184, 112, 40.
  Z tego jedynie 400 i 256 są kwadratami liczb całkowitych, co ogranicza możliwe b do zbioru {0,2}.
  Dla b = 0 równanie kwadratowe na a ma postać:
  
  a^2 -20a = 0
  
  Rozwiązaniami są a = 0 lub a = 20. Odrzucam te możliwości.
  
  Dla b = 2 równanie kwadratowe na a ma postać:
  
  a^2 -16a = 0
  
  Rozwiązaniami są a = 0 lub a = 16. Odrzucam te możliwości.
  
  Wobec tego nie istnieje dwucyfrowa liczba o podanych własnościach.
  
  
  2. Wyznacz o ile istnieje liczbę naturalna 4 cyfrową która jest kwadratem liczby naturalnej oraz jej cyfry setek i tysięcy są równe i jednocześnie równe są cyfry dziesiątek i jedności.
  
  Najpierw wyznaczę zakres liczb, których kwadraty mogą być szukaną liczbą 4-cyfrową.Najmniejsza liczba 4-cyfrowa to 1000, pierwiastek z niej jest mniejszy od 32. Największa liczba to 9999, pierwiastek z niej jest większy od 99, mogę więc szukać odpowiedniej liczby wśród kwadratów liczb od 32 do 99.
  
  Następny warunek nakłada postać liczby 4-cyfrowej:
  1000 * b + 100 * b + 10 * c + c = 1100 * b + 11 * c = 11 * (10 * b + c)
  Liczba ta musi więc dzielić się przez 11.
  Ponieważ 11 jest liczbą pierwszą dwucyfrowa liczba, której kwadratu szukam, TEŻ musi dzielić się przez 11. Ogranicza to poszukiwania do kwadratów liczb 33,44,55,...99.
  Próbując kolejnych kwadratów dostaję:
  88^2 = 7744. Bingo!
  
  
  3. Liczba K nie dzieli sie przez 2 jaką resztę daje kwadrat liczby k przy dzieleniu przez 2 , 4 i 8?
  
  Liczba niepodzielna przez 2 może być zapisana jako: 2n + 1.
  Po podniesieniu do kwadratu daje to:
  (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4 * n * (n + 1) + 1.
  Niezależnie od n iloczyn n * (n + 1) jest parzysty gdyż albo n jest parzyste, albo n + 1. Wobec tego n * (n + 1) można zapisać jako 2k, a cały kwadrat jako 8k + 1.
  Wobec tego reszta z dzielenia przez 2, 4 i 8 jest zawsze 1

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie