Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 30.9.2011 (22:12)

  We wszystkich przypadkach do obliczenia objętości będzie potrzebna znajomość wysokości ostrosłupa (oznaczam: H). Natomiast do pola powierzchni wystarczą dane z zadania. Najłatwiej, wbrew pozorom, zacząć od punktu c).
  
  (c)
  Zrób rysunek ostrosłupa. Wysokość H przecina podstawę w środku sześciokąta (punkt O). W tym wypadku odległość tego punktu od wierzchołka sześciokąta wynosi 3 cm - tyle, co bok sześciokąta.
  Wysokość H, wspomniany odcinek 3 cm i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. Z tw. Pitagorasa:
  H^2 + 3^2 = 12^2 ; więc H = pierwiastek(144 - 9) = pierwiastek(135).
  Pole powierzchni podstawy to pole sześciokąta o boku 3 cm, czyli pole sześciu trójkątów równobocznych o boku 3 cm, wobec tego to pole wynosi:
  S = 6 * 3^2 * pierwiastek(3) / 4
  Objętość ostrosłupa: V = S * H / 3
  V = (6 * 3^2 * pierwiastek(3) / 4) * pierwiastek(135) / 3 = 81 * pierw(5) / 2
  Pole powierzchni całkowitej to S + 6 razy pole 1 ścianki bocznej. Pole ściany bocznej policzę następująco:
  Wysokość ścianki h, krawędź boczna i połowa krawędzi podstawy tworzą trójkąt prostokątny, wię z tw. Pitagorasa:
  h^2 + (3/2)^2 = 12 ; więc h = pierwiastek(39) / 2
  Pole ścianki = 3 * h / 2 = 3 * pierwiastek(39) / 4
  Pole całkowite = 6 * 3^2 * pierwiastek(3) / 4 + 6 * 3 * pierwiastek(39) / 4
  = (27 * pierw(3) + 9 * pierw(39)) / 2
  
  (b). Pole powierzchni całkowitej to pole kwadratu o boku 3 (czyli 9 cm^2) + 4 razy policzone wyżej pole ścianki.
  Pole = 9 + 4 * 3 * pierwiastek(39) / 4 = 9 + 3 * pierwiastek(39)
  Do obliczenia objętości potrzebuję wysokości H. Tym razem trójkąt prostokątny, tworzony przez H, krawędź boczną i połowę przekątnej kwadratu ma boki: H, 12, 3 / pierw(2), więc:
  H = pierwiastek(12^2 - 9/2) = pierw(279 / 2), a cała objętość:
  V = 9 * pierw(279 / 2) / 3 = 3 * pierw(279 / 2).
  
  (a) Podstawa jest trójkątem równobocznym o boku 3.
  Pole podstawy S = 3^2 * pierw(3) / 4
  Pole całkowite = 3^2 * pierw(3) / 4 + 3 * 3 * pierwiastek(39) / 4
  = 9 * (pierw(3) + pierw(39) ) / 4.
  Trójkąt zawierający wysokość H w tym wypadku ma podstawę równą 2/3 wysokości trójkąta równobocznego o boku 3, czyli odpowiedni odcinek to:
  (2/3) * 3 * pierwiastek(3) / 2 = pierwiastek(3) ; więc:
  H = pierwiastek(12^2 - 3) = pierwiastek(141). Objętość:
  V = pierwiastek(141) * (3^2 * pierw(3) / 4) / 3 = 9 * pierw(47) / 4.
  
  Sprawdź, bo mogłem się pomylić, za dużo tych dziwnych pierwiastków.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie