Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 18.9.2011 (22:29)

  Przeanalizuję podane równanie. Ponieważ x^2 oraz |x| mają identyczne wartości dla dodatniego i ujemnego x, wystarczy zbadać rozwiązania dla x > 0 (czyli pozbyć się wartości bezwzględnej), a potem o ile potrzeba podwoić ilość rozwiązań (patrz dalej). Wtedy, po przeniesieniu "m" na lewą stronę, mam równanie:
  
  x^2 - 6x + 8 - m = 0
  
  Wyróżnik: delta = (-6)^2 - 4 * (8 - m) = 36 - 32 + 4m = 4 * (1 + m)
  
  Dla m < -1 jest: delta < 0, brak rozwiązań
  
  Dla m = -1 jest delta = 0, jedno rozwiązanie (dla x > 0). Zobaczmy, jakie:
  Podstawiam m = -1 do początkowego równania:
  x^2 - 6x + 8 = -1 czyli x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0 ;
  Daje to x = 3. Ponieważ rozwiązania są symetryczne względem zera, to wyjściowe równanie ma także rozwiązanie dla x =-3.
  
  Dla m = -1 istnieją dwa rozwiązania, x = 3, x = -3
  
  Dla m > -1 jest delta > 0, dwa rozwiązania dla x > 0
  Ze względu na symetrię względem zera niby wychodzi 4 rozwiązania, ale to nie jest prawda!
  Należy rozważyć różne przypadki:
  1) Oba rozwiązania są dodatnie. pasuje do założenia x > 0
  Kiedy oba rozwiązania są dodatnie? Gdy ich iloczyn jest dodatni i suma dodatnia. Ze wzorów Viete'a daje to warunek 8 - m > 0 (na iloczyn) czyli m < 8
  Dla x > 0 współczynnik przy "x" jest równy -6, więc suma pierwiastków jest dodatnia z założenia.
  Wobec tego:
  
  dla m z przedziału (-1, 8) istnieją 4 rozwiązania
  
  2) Gdy mamy jedno rozwiązanie dodatnie, drugie równe zero. Zachodzi to dla m = 8, wtedy równanie ma postać(dla x > 0):
  x^2 - 6x = x * (x - 6) = 0 ; więc x = 6 lub x = 0.
  Ze względu na symetriępoczątkowe równanie ma 3 rozwiązania: -6, 0, 6.
  
  Dla m = 8 mamy 3 rozwiązania, x = -6, 0, 6
  
  Dla m > 8 równanie x^2 - 6x +8 - m ma iloczyn pierwiastków ujemny (ze wzorów Viete'a). Jest jedno rozwiązanie ujemne, drugie dodatnie. Ponieważ założyłem, że x > 0, tylko dodatnie rozwiązanie wchodzi w grę. (czyli 1 rozwiązanie). Wtedy - ze względu na symetrię - początkowe równanie ma 2 rozwiązania, +x1, -x1, symetryczne względem zera.
  
  dla m > 8 istnieją 2 rozwiązania, +x1, -x1.
  
  Interpretacja geometryczna:
  Można narysować wykres funkcji x^2 - 6|x| + 8 - m. Ma on kształt litery W. W zależności od "m" albo całe W leży nad osią X (to dla m < -1) albo styka się z osią X w 2 punktach (dla m = -1), albo przecina ją w 4 punktach (środek W leży nad osią X), albo gdy środek W dotyka punktu (0,0) jest 3 rozwiązania, albo środek W leży pod osią X (dwa rozwiązania).

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie