Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 8.9.2011 (21:40)

  Punkt a)
  
  Istnieją 4 przypadki:
  Wyrażenie w zewnętrznych |...| jest: 1x) dodatnie lub zerowe 2x) ujemne
  Wyrażenie w wewnętrznych |...| jest: x1) dodatnie lub zerowe x2) ujemne
  Po kolei:
  11) Pozbywam się wszystkich |...|. Muszą być spełnione 2 warunki:
  3-x >= 0 oraz 3-x-2 >= 0 ( >= czytaj "większe lub równe" i podobnie <=)
  Daje to: 3 >= x oraz 1 >= x ; w rezultacie warunek x \<= 1 (**)
  Wtedy nierówność zapisuję tak: 3 - x - 2 >= 4 czyli -x >= 3
  Obie strony mnożę przez -1, dostaję: x <= -3 (UWAGA na zmianę kierunku nierówności)
  Łączę warunek (**) z warunkiem x <= -3 co daje pierwsze rozwiązanie:
  x <= -3
  Przykład: dla x = -5 mam: || 3 - (-5)| - 2 | = | 8 - 2 | = 6 >= 4. Zgadza się.
  
  12) Pozbywam się wewnętrznych |...| zastępując 3 - x przez x - 3.
  Ale to wymaga, aby 3 - x < 0 czyli x > 3. (***)
  Wielkość w zewnętrznych |...| ma być dodatnia, wstawiam x - 3
  w miejsce wewnętrznych |...| i dostaję warunek:
  x - 3 - 2 >= 0 czyli x >= 5. Łączę to z warunkiem (***) dostając x >= 5.
  Wtedy nierówność ma postać:
  x - 3 - 2 >= 4 czyli x >= 9.
  Drugie rozwiązanie:
  x >= 9
  Przykład: dla x = 10 mam: || 3 - 10| - 2 | = | 7 - 2 | = 5 >= 4. Zgadza się.
  
  21) Wewnętrzne |...| są dodatnie czyli x <= 3 (porównaj przypadek 11)
  a zewnętrzne |..| ujemne czyli 3-x-2 < 0, co daje x > 1
  Jest taki przedział x: x jest elementem (1, 3 >
  Wtedy nierówność ma postać:
  - (3-x-2) >= 4, czyli x - 1 >= 4 czyli x >= 5.
  Takie x jest POZA przedziałem wyznaczonych warunków. 21) jest zbiorem pustym.
  
  22) Odwracam wszystkie znaki co prowadzi do 2 warunków:
  3 - x < 0 (wtedy | 3 - x | = x - 3 i musi być x > 3 ) oraz
  x - 3 - 2 < 0 czyli x < 5.
  Jest taki przedział: x jest elementem (3, 5)
  Nierówność ma ppostać:
  - ( x - 3 - 2 ) >= 4 co daje -x >= -1 czyli x <= 1. Odpada, bo jest sprzeczne z warunkiem
  
  W rezultacie zostaje: x jest elementem: (-oo, -3> V \<9, +oo)
  
  
  Punkt d)
  
  Istnieją 4 przypadki, tu już prościej będzie. Stosyję te same oznaczenia 11, 12 etc.
  11) oba |...| dodatnie Daje to warunek:
  x-3 >= 0 oraz x+4 >=0, razem prowadzi do x >= 3 (**)
  Wtedy nierówność ma postać: 2(x-3) - 3(x+4) < 7
  co daje: -x < 25 czyli x > -25. Ten warunek i (**) dają pierwsze rozwiązanie:
  x >= 3
  Przykład dla x = 4
  2 * |4 - 1| - 3 * |4 + 4| = 2 * 3 - 3 * 8 = -18 < 7
  
  12) Warunki: x - 3 >= 0 oraz x + 4 < 0, czyli x >= 3 oraz x < -4. Sprzeczne.
  
  21) Warunki: x - 3 < 0 oraz x + 4 >= 0, czyli x < 3 oraz x >= -4.
  Jest taki przedział: x jest elementem \<-4, 3) (***)
  Wtedy nierówność ma postać:
  2(3-x) - 3(x+4) < 7
  co daje: -5x < 13 więc x > -13/5 co się równa minus (2 i 3/5)
  Przecięcie tego warunku i (***) daje drugie rozwiązanie:
  x jest elementem (-2 i 3/5, 3).
  Przykład dla x = 0:
  2 * |0 - 3| - 3 * |0 + 4| = -6 -12 = -18 < 7
  
  22) Warunki: x - 3 < 0 oraz x + 4 < 0 co daje x < 3 oraz x < -4.
  W rezultacie x < -4 (****)
  Wtedy nierówność wygląda tak:
  2 (3 - x) - 3(-4 - x) < 7 czyli x < -11. Wraz z warunkiem (****) dostajemy
  następne rozwiązanie: x jest elementem (-oo, -11).
  Przyklad dla x = -12:
  2 |-12-3| - 3 |-12+4| = -30 - 24 = -54 < 7
  
  Łączę wszystkie rozwiazania: x jest elementem:
  <3, +oo) V (-2 i 3/5, 3) V (-oo, -11).
  Dwa pierwsze zbiory mogę ze sobą połączyć, bo {3} należy do jednego z nich.
  Odpowiedź: x jest elementem (-oo, -11) V (-2 i 3/5, +oo)
  
  Pozdrowienia - Antek
  Sorry za "nieszkolną" formę rozwiązania ale nie chodzę już do szkoły i pozapominałem dużo.
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie