Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  3 0

  antekL1 17.6.2011 (22:25)

  1)
  Każdy z n zawodników walczy z n-1 pozostałych 3 razy wieć jest
  3 * n * (n - 1) walk
  Ale w ten sposób liczyłbym każdą walkę podwójnie - raz dla A walczącego z B, drugi raz dla B walczącego z A. Więc trzeba liczbę walk podzielić przez 2 i to daje 135. Równanie:
  \frac{3n(n-1) }{2} = 135
  Mnożę obie strony przez 2, dzielę przez 3, wymnażam nawias i dostaję:
  n^2 - n -90 = 0
  Wyróżnik = 1^2 - 4 * (-90) = 361 = 19^2 (czytaj ^2 jako "do kwadratu")
  n1 = (1 - 19) / 2. Ujemne, odrzucam
  n2 = (1 + 19) / 2 = 10
  Odp: Było 10 zawodników.
  
  2)
  Ilość "n" wierzchołków wielokąta jest taka sama, jak ilość boków (to jasne, prawda?), a z każdego wierzchołka wychodzi n - 3 przekątne (bo nie do siebie samego i nie do sąsiednich wierzchołków, gdyż wtedy nie jest to prawdziwa przekątna.
  W n-kącie jest więc:
  k = \frac{n(n-3) }{2}
  przekątnych. Przez 2 podzieliłem z tego samego powodu, co w zadaniu 1.
  
  Rozwiązuję to dla dowolnego k, potem podstawię kolejno k = 14, 27 itd.
  n^2-3n-2k=0
  wyróżnik = (-3)^2 - 4 *(-2k) = 9 + 8k. Zawsze dodatni dla k > 0
  n1 = (3 - pierwiastek(9+8k)) / 2. Ujemne, odrzucam.
  n_2 = \frac{3+\sqrt{9+8k}}{2}
  Teraz wystarczy podstawiać.
  a) (3 + pierw(9+8*14))/2 = (3 + pierw(121)) / 2 = 7
  b) wychodzi 9
  c) nie wychodzi liczba całkowia. Błąd w danych zadania.
  d) wychodzi 13
  
  5) (zad 5 po drugim, bo podobne).
  Liczbę przekątnych policzyłem poprzednio. A teraz ta liczba ma być o "j" większa od liczby boków (j = 12, 33, 150 lub 133). Równanie:
  n + j = \frac{n(n-3) }{2}
  czyli
  n^2 - 5n - 2j = 0
  wyróżnik = (-5)^2 - 4 * (-2j) = 25 + 8j, dodatnie dla j > 0
  n1 = (5 - pierwiastek(25 + 8j)/2. Ujemne, odrzucam
  n_2 = \frac{5+\sqrt{25 + 8j}}{2}
  Podstawiam kolejno:
  a) (5 + pierwiastek(25 + 8*12))/2 = 8
  b) wychodzi 11
  c) wychodzi 20
  d) wychodzi 19
  
  3)
  Znajdę przekątne, wtedy ich iloczyn dzielony przez 2 da pole.
  Mając obwód mam bok rombu: a = 68 / 4 = 17.
  Wiem, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. Oznaczam "x" POŁÓWKĘ krótszej przekątnej. Wtedy połówka drugiej przekątnej = x + 7.
  Połówki przekątnej tworzą z bokiem trójkąt prostokątny (bok jest przeciwprostokątną. Z tw. Pitagorasa:
  
  x^2 + (x + 7)^2 = 17^2
  
  Wymnażam nawiasy, porządkuję, wszystko dzielę przez 2
  
  x^2 + 7x - 120 = 0
  wyróżnik = 7^2 - 4* (-120) = 529 = 23^2
  x1 = (-7 - 23) / 2 = -15 ; ujemne , na razie odrzucam, ale patrz na końcu.
  x2 = (-7 + 23) / 2 = 8
  
  To jest połówka przekątnej. Cała krótsza przekątna ma 16 cm, a dłuższa 16 + 14 = 30 cm.
  Pole rombu wynosi: 16 * 30 / 2 = 240 cm^2
  
  Kwestia "odrzucenia x1 = -15. Tak naprawdę to NIE odrzucam. Druga połówka ma wtedy -15 + 7 = -8.
  Całe przekątne odpowiednio -30 i -16 cm, co daje to samo pole rombu. Równanie kwadratowe nie dało błędnych wyników, tylko trzeba je zinterpretować jako parę połówek przekątnych po przeciwnej stronie środka rombu, dlatego są ujemne.
  
  4)
  Oznaczam przez x pierwszą cygrę, wtedy druga to 9 - x.
  Układ cyfr pierwsza-druga daje liczbę, którą można zapisać jako:
  
  10x + (9-x) = 9x + 9
  
  Układ cyfr druga-pierwsza daje liczbę, którą można zapisać jako:
  
  10*(9-x) + x = -9x + 90
  
  Teraz trzeba wykorzystać iloczyn:
  
  (9x + 9) * (-9x + 90) = 1944
  
  Wymnażam, porządkuję, dzielę wszystko przez -81.
  
  x^2 - 9x + 14 = 0
  Wyróżnik = (-9)^2 - 4 * 14 = 25 = 5^2
  x1 = (9 - 5) / 2 = 2
  x2 = (9 + 5) / 2 = 7
  W sumie oczywiście oba rozwiązania dają 9, nic dziwnego - równanie kwadratowe nie wiedziało, którą z liczb: 27 czy 72 wybrać. Więc rozwiązaniem jest którakolwiek z tych liczb.
  Sprawdzam: 27 * 72 = 1944.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie