Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 9.6.2011 (14:14)

  Nie jest to pewnie najprostsze rozwiązanie, ale nic innego nie mogę wymyśleć. Narysuj ten trójkąt, jego dwusieczne, okrąg wpisany i jego promienie prostopadłe do boków trójkąta.
  Skupmy się na jednym z okręgów o promieniu małe r, tym pomiędzy bokami 8 i 10.
  Przez "x" oznaczam odcinek na dwusiecznej od wierzchołka między bokami 8, 10 do środka małego okręgu. Zobacz na rysunku, że z podobieństwa trójkątów mogę ułożyć taką proporcję:
  
  \frac{r}{x} = \frac{R}{R+r+x} (pierwsze równanie)
  
  Jeżeli kąt między bokami 8 i 10 oznaczę 2 * alfa, to mam drugie równanie:
  
  \frac{r}{x} = \sin\alpha
  
  Sinus alfa da się wyznaczyć, gdyż kosinus 2 * alfa = 8 / 10, a sinus połowy kąta to:
  
  \sin\alpha = \sqrt{\frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - 8/10}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}
  Wobec tego z 2-go równania mam x = r\sqrt{10}.
  Pierwsze równanie, po wymnożeniu proporcji daje:
  r^2 + r * R + x * r = x * R
  a to po podstawieniu x jak wyżej daje:
  
  r^2 + rR + r^2\sqrt{10} = rR\sqrt{10} ; czyli, odrzucając r = 0,
  
  r + r\sqrt{10} + R - R\sqrt{10} = 0 ; stąd:
  
  r = \frac{10 - \sqrt{10}}{10 + \sqrt{10}}\cdot R.
  
  Promień R jest znany, gdyż ze wzorów na pole trójkąta wynika, że
  (6 + 8 + 10) * R = 6 * 8 ; czyli R = 2.
  wobec tego małe r wynosi w przybliżeniu r1 = 1,04.
  
  Analogicznie znajduję promień okręgu między bokami 10 i 6, tylko teraz kąt 2 * beta ma kosinus równy 6/10, czyli sinus beta = 1 / pierwiastek(5), co daje promień r2 = 0,764 (w przybliżeniu).
  
  Trzeci promień liczę wstawiając 2 gamma = 90 stopni, czyli sinus gamma = sin(45) = 1/pierwiastek(2).
  Odpowiada to r3 = 0,343 (w przybliżeniu).
  
  Mam nadzieję, że się nie pomyliłem...

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie