Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 1.6.2011 (12:19)

  zad.1a.
  f(x) = \frac{2x-3}{(5x-2)(8x+1)}
  Dziedzina to liczby rzeczywiste poza tymi, dla których mianownik jest zerem.
  Znajduję zera mianownika:
  5x - 2 = 0 ; stąd x1 = 2 / 5
  8x + 1 = 0 ; stąd x = -1 / 8
  D = R - {-1/8, 2/5}
  
  zad.1b.
  f(x) = \frac{7x-2}{(5x-2)(x^2 - 5x + 20}
  Dziedzina to liczby rzeczywiste poza tymi, dla których mianownik jest zerem.
  Znajduję zera mianownika:
  x^2 - 5x + 20 = 0 (czytaj x^ jako "x do kwadratu" itp.)
  wyróżnik = (-5)^2 - 4 * 20 = -55
  Brak rozwiązań, mianownik jest zawsze dodatni, więc D = R
  
  
  zad.2a.
  Na początek można -3 wyłączyć przed nawias z licznika, a mianownik zapisać jako pełny kwadrat:
  \frac{-3x^2+3x+36}{x^2+6x+9} = \frac{-3(x^2-x-12)}{(x+3)^2}
  Aby coś dało się skrócić licznik powinien zawierać(x + 3). Faktycznie:
  Licznik = -3(x-4)(x+3) ; pod warunkiem, że x jest inne od -3 upraszczam:
  = \frac{-3(x-4)}{x+3}
  
  Zad 2b.
  Mam dziwne przeczucie, że cały ułamek da się tak zapisać:
  \frac{(x - A)(x^2+8x+15)}{x^2+8x+15} = x - A
  To należałoby sprawdzić znajdując pierwiastki równania kwadratowego w mianowniku i podstawiać je do licznika, ma wyjść zero. Ale wierzę w przeczucie...
  Aby znaleźć A wymnażam nawiasy w liczniku i łączę wyrazy przy takiej samej potędze x.
  x^3 + (8 - A) x^2 + (15 -8A) x - 75
  To wyrażenia ma się równać oryginalnemu licznikowi. I równa się, gdy A = 5 (sprawdź ! )
  Wobec tego cały ułamek równa się x - 5.
  
  zad.3a.
  \frac{3}{x+4} - \frac{1}{x-2} = \frac{3(x-2) - (x+4)}{(x+4)(x-2)} = \frac{2x-10}{(x+4)(x-2)}
  
  zad.4a.
  
  \frac{x+2}{x+5} = \frac{x-1}{x-3}
  Wykluczam z dziedziny x =-5 oraz x = 3 ; D = R - {-5,3}
  Dla x z dziedziny: prznoszę ułamek z prawej strony na lewą i sprowadzam do wspólnego mianownika. Licznik ma się równać zero, czyli:
  (x+2)(x-3) - (x-3)(x+5) = 0 ; mnożę nawiasy
  x^2 + 2x -3x - 6 - x^2 + 3x - 5x + 15 = 0
  x^2 wypada, zostaje:
  5x + 1 = 0 ; stąd x = -1 / 5. Należy do dziedziny, uznaję to rozwiązanie.
  
  Zad 4b.
  \frac{(1-2x)(4+8x)}{x+1} = 0
  Dziedzina: D = R - {-1}
  Licznik jest zerem gdy 1-2x = 0 lub 4+8x = 0. Daje to
  x1 = 1/2 ; x2 = -1/2. Uznaję rozwiązania, należą do dziedziny.
  
  Zad 4c
  \frac{7x-4}{x+2} > 1
  Dziedzina: D = R - {-2}
  Przenoszę 1 na lewą stronę i zapisuję jako (x+2) / (x+2). Włączam do ułamka.
  \frac{7x-4 -x - 2}{x+2} = \frac{6(x-1)}{x+2} > 0
  Mam 2 przypadki: albo jednocześnie licznik i mianownik dodatnie:
  x - 1 > 0 oraz x + 2 > 0 ; czyli x > 1 oraz x > -2
  Mocniejszy warunek to x > 1, więc x \in (1, +\infty)
  Albo jednocześnie licznik i mianownik ujemne:
  x - 1 < 0 oraz x + 2 < 0 ; czyli x < 1 oraz x < -2
  Mocniejszy warunek to x < -1, więc x \in (-\infty, -2)
  Sumuję rozwiązania. Ale pamiętam o dziedzinie, x nie może być równe -2.
  Jednak rozwiązanie nie obejmuje -2, mam z nim spokój.
  x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie