Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 1

  antekL1 29.5.2011 (01:39)

  1.
  Dane:
  m = 0,5 kg - masa ciężarka
  h = 2,5 m - wysokość
  t = 5 s - czas podnoszenia.
  
  Zadanie nie jest do końca jasne, bo nie wiadomo, w jaki sposób podnoszono ciężarek.
  Ale załóżmy, że ruchem jednostajnym i praktycznie natychmiast nadano mu prędkość v,
  a na końcu natychmiast zatrzymano. Wtedy prędkość v wynosi:
  v = h / t
  Prędkość w ruchu jednostajnym wiąże się z siłą F przez równanie:
  P = F * v ; gdzie P - używana moc.
  Z kolei moc P to praca dzielona przez czas, a praca to zmiana energii potencjalnej ciążarka, stąd:
  P = m * g * h / t.
  Porównuję prawe strony dwu poprzednich równań:
  
  m * g * h / t = F * v
  
  Iloraz h / t po prawej stronie to prędkość v, więc ostatnie równanie zapisuję jako:
  
  m * g * v = F * v ; stąd F = m * g
  
  Oczywiście wynik można było dostać bez obliczeń, bo F to przecież ciężar ciała
  
  F = 0,5 kg * 10 m/s^2 = 5 N
  
  a skoro ciężarek był podnoszony ruchem jednostajnym, to działająca siła powinna po prostu zrównoważyć ciężar. Czas t i wysokość h NIE są potrzebne, albo to zadanie powinno coś więcej w sobie zawierać.
  
  2.
  Dane:
  s =40 m - droga
  T = 0,1 * m * g - siła oporów ruchu, 10% ciężaru równego m * g
  Szukam prędkości początkowej v.
  
  Początkowa energia kinetyczna kuli zamieniła się w pracę przeciwko sile T na drodze s.
  Siła jest równoległa do drogi więc praca= T * s. Z zasady zachowania energii:
  
  (1/2) m * v^2 = T * s (czytaj ^2 jako "do kwadratu)
  stąd, po podstawieniu T (patrz dane) i pomnożenie przez 2, uproszczeniu m
  
  v^2 = 2 * 0,1 * g * s = 2 * 0,1 * 10 * 40 = 80
  
  Skoro v^2 =80 to v = pierwiastek(80) = około 8,94 m/s.
  
  Wymiar wyniku się zgadza, bo g ma wymiar m/s^2, droga to metry, iloczyn g * s ma wymiar m^2 / s^2. Po pierwiastkowaniu daje to m/s.
  
  3.
  Dane:
  Q = 200 N - ciężar taczek
  F = 20 N - siła robotnika
  v =10 m/s - końcowa prędkość
  f = 0,08 - wsp tarcia.
  Szukam czasu t
  
  Mamy ciężar Q i wsp. tarcia f, można obliczyć siłę tarcia T = Q * f.
  Ta siła działa przeciwnie do siły F, z którą robotnik pcha taczki. Różnica F - T nadaje masie taczek m przyspieszenie a. Z II zasady dynamiki:
  
  m * a = F - T
  
  Trochę trzeba popodstawiać. Masa m to ciężar przez g, Siłę T policzyłem wyżej.
  Przyspieszenie a = v / t, gdzie t to właśnie szukany czas.
  Wstawiam to wszystko:
  
  \frac{Q}{g}\cdot\frac{v}{t} = F - Q\cdot f
  
  Dzielę obie strony przez F - Q * f, mnożę przez t
  
  t = \frac{Q}{F - Q\cdot f}\cdot\frac{v}{g}
  
  Specjalnie zapisałem tak wynik, aby było widać, że wymiar sił się znosi, a iloraz v / g daje m/a dzielony przez m / s^2 czyli sekundę. Podstawiam dane i liczę szukany czas t.
  
  t = \frac{200}{20 - 200 \cdot 0{,}08}\cdot\frac{10}{10} = 50\,\,s
  
  4.
  Dane:
  F = 150 kN - ciąg elektrowozu
  m = 800 t - masa pociągu
  v1 = 10 m/s - początkowa prędkość
  v2 = 15 m/s - końcowa prędkość
  s = 1000 m - droga
  Szukam siły oporu T
  
  Różnica siły napędowej F i siły oporu T powoduje przyspieszanie elektrowozu z przyspieszeniem a.
  Z II zasady dynamiki:
  
  m * a = F - T ; zatem T = F - m * a
  
  Będę miał szukaną siłę T, jeśli znajdę przyspieszenie a. Znam końcową i początkową prędkość elektrowozu. Jest taki wzór:
  
  2 * s * a = v2^2 - v1^2 ; stąd a = (v2^2 - v1^2) / (2 * s)
  
  Jak możesz go stosować, to liczymy dalej. Jak nie, wyprowadzam go na końcu zadania.
  Podstawiam dane do powyższego wzoru:
  
  a = (15^2 - 10^2) / (2 * 1000) = 0,0625 m/s^2
  
  Wstawiam 'a' do wzoru na T. Zamieniam kN na niutony (czyli F = 150000 N) oraz tony na kilogramy (czyli m = 800000 kg)
  
  T = 150000 - 800000 * 0,0625 = 100000 N = 100 kN
  To jest odpowiedź.
  
  Wyprowadzenie podanego wzoru - od końca. Różnicę kwadratów prędkości zapisuję jako:
  (v2 - v1) * (v2 + v1)
  wtedy:
  
  2sa = (v_2 - v_1) \cdot (v_2 + v_1)
  
  dzielę przez 2 obie strony, oraz wykorzystuję zależność w ruchu jednostajnie przyspieszonym:
  
  v2 = v1 + a * t ; stąd v2 - v1 = a * t. Podstawiam to:
  
  sa = a\cdot t\cdot\frac{v_1 + v_2}{2}
  
  Przyspieszenie 'a' upraszcza się i dostaję s = t * v_średnia, znany wzór w ruchu jednostajnie przyspieszonym. Odwracając moje rozumowanie z ostatniego wzoru dostajesz ten, na który się powoływałem. Wynika on zresztą też z zasady zachowania energii, ale nie wiem, czy mogłem jej użyc.
  
  5.
  Dane:
  a1 = 0,1 m/s^2 - przysp. z ładunkiem
  a2 = 0,5 m/s^2 - przysp. bez ładunku
  m = 3 t - masa pustego samochodu.
  Szukam masy ładunku M
  
  Silnik samochodu działa w obu wypadkach z taką samą siłą F. Z II zasady dynamiki:
  F = (M + m) * a1 lub
  F = m * a2
  Porównuję prawe strony: (M + m) * a1 = m * a2
  Mnożę nawias, przenoszę m * a1 na prawo, dzielę przez a1 obie strony:
  
  M = m \cdot\frac{a_2 - a_1}{a_1} = 3\cdot\frac{0{,}5 - 0{,}1}{0{,}1} = 12\,\,t
  
  Masa ładunku wynosi 12 ton. Wymiar wyniku jest taki sam, jak wymiar masy m, gdzyż wymiary przyspieszeń upraszczają się.
  
  Powodzenia!
  Antek
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie