Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 12.5.2011 (14:42)

  Zakładam, że spełnione są wszelkie potrzebne założenia typu "mianownik niezerowy", dodatnie liczby gdzie potrzeba, w szczególności że a, b są inne od zera.
  Zakładam, że x NIE jest funkcją y.
  
  Podane wyrażenie najpierw zapiszę mniej "piętrowo", zamiast dzielic przez mianownik pomnożę przez jego odwrotność. Dodatkowo pierwiastki wyrażam jako ułamkowe potęgi.
  
  = \left(\frac{ay^a}{x^b}\right)^{\frac{1}{a}}\cdot\left(\frac{by^b}{x^a}\right)^{\frac{1}{b+3}}
  
  Korzystając z tego, że (A^B)^C = A^(B*C) oraz że (A / B)^C =A^C / B^C dostaję:
  
  = \frac{a^{\frac{1}{a}}\cdot y^{a\frac{1}{a}}}{x^{\frac{b}{a}}}\cdot\frac{b^{\frac{1}{b+3}}\cdot y^{\frac{b}{b+3}}}{x^{\frac{a}{b+3}}}
  
  Wszystko, co nie zawiera y, wyłączam jako stałą C. Ta stała jest równa:
  
  C = \frac{a^{\frac{1}{a}}\cdot b^{\frac{1}{b+3}}}{x^{\frac{b}{a}}\cdot x^{\frac{a}{b+3}}}
  
  Z tą stałą jeszcze się pobawię, natomiast f(y) zawiera tylko wyrażenia z y.
  
  f(y) = y^{a\frac{1}{a}}\cdot y^{\frac{b}{b+3}} = y^{1 + \frac{b}{b+3}}
  
  Okazuje się, że całe wyrażenie ma postać: C * y^n, gdzie n to potęga y powyżej.
  Pierwsza pochodna takiego wyrażenia to C * n * y^(n-1)
  Druga pochodna to C * n * (n-1) * y^(n-2).
  
  Osobno obliczę iloczyn n(n-1) oraz n-2.
  
  n(n-1) = \left(1 + \frac{b}{b+3}\right)\cdot\left(1 + \frac{b}{b+3} - 1\right) = \frac{b(2b+3)}{(b+3)^2}
  
  oraz
  
  n-2 = 1 + \frac{b}{b+3} - 2 = \frac{b}{b+3} -1
  
  I chtyba tak to trzeba zostawić. Czyli cała druga pochodna funkcji f(y) ma postać
  
  f''(y) = \frac{b(2b+3)}{(b+3)^2}\cdot y^{\frac{b}{b+3}-1}
  
  Podbawię się jeszcze ze stałą C. Przypominam, że:
  
  C = \frac{a^{\frac{1}{a}}\cdot b^{\frac{1}{b+3}}}{x^{\frac{b}{a}}\cdot x^{\frac{a}{b+3}}}
  
  To można jeszcze trochę zapisać w postaci pierwiastłow:
  
  C = \frac{\sqrt[a]{a}\sqrt[b+3]{b}}{\sqrt[a]{x^b}\sqrt[b+3]{x^a}}
  
  Cała druga pochodna jest więc równa: C * f''(y), gdzie składowe są wypisane powyżej.
  
  Jeśli trzeba coś jeszcze zrobić, to proszę o wiadomość na priv.
  Ciekaw jestem, czy się nie pomyliłem :)
  Pozdrawiam - Antek
  
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie