Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 11.5.2011 (13:08)

  1)
  Sn = pn^2 + qn. Fajnie, ale co mam z tym zrobić?
  
  2)
  Pierwszy ciąg arytmetyczny ma a1 = 6, r = 12. Jego suma S1n wynosi:
  S_{1n} = n a_1 + \frac{rn(n-1)}{2} = 6n + \frac{12n(n-1)}{2} = 6n^2
  Akurat dla takich a1, r wychodzi prosty wynik
  
  Drugi ciąg: a1 = 18, r = 6. Suma S2n wynosi:
  S_{1n} = n a_1 + \frac{rn(n-1)}{2} = 18n + \frac{6n(n-1)}{2} = 3n^2 + 15n
  
  Porównujemy sumy, dostajemy równanie:
  6n^2 = 3n^2 + 15n, stąd
  3n(n-5) = 0. Rozwiązanie: Sumy są równe dla n=5.
  
  3) Z zadania wynika, że a1 = x oraz q = 1/x.
  Zakładam, że x jest różne od zera i różne od 1, i obliczam nieskończoną sumę po lewej stronie:
  S = \frac{a_1}{1-q} = \frac{x}{1-\frac{1}{x}} = \frac{x^2}{x-1}
  To wyrażenie ma być równe x^3. Od razu dzielę przez x^2, wolno mi, bo x nie jest zerem
  \frac{1}{x-1} = x
  Stąd wynika, że 1 = x(x-1). Dostaję równanie kwadratowe:
  x^2 - x - 1 = 0
  Delta = (-1)^2 - 4 * 1 * (-1) = 5
  x1 = (1 - pierw(5)) / 2; x2 = (1 + pierw(5)) / 2
  To są znane liczby, związane ze "złotym podziałem" odcinka.
  
  4)
  A nie miało być to przypadniem tak:
  1 + \sin^2\alpha + \sin^4\alpha + ... = 3
  Wtedy jest to nieskończona suma ciągu geometrycznego, gdzie
  a1 = 1, q = sin^2 alfa, czyli
  \frac{1}{1-\sin^2\alpha} = 3
  Z ostatniego równania wynika, że
  1 = 3 - 3 * sin^2 alfa, czyli 3 sin^2 alfa = 2
  i dalej: sin alfa = pierwiastek(2/3). To daje kąt ostry około 42 stopnie.
  Może na początku tego wyrażenia w zadaniu 4 jest coś innego, ale technika
  rozwiązania jest podobna. Pewnie wychodzi jakieś 60 stopni.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie