Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 11.5.2011 (15:17)

  Zapis zadań nie jest dla mnie jasny, ale spróbuję, nie gwarantuję, że poprawnie rozumiem treść zadań.
  
  1) Chyba po prostu "odsetki" wyniosą 200 zł ?
  Jeśli tak, to stosujemy wzór na kwotę Kn od wartości początkowej Ko = 5000 i odsetkach r = 3% = 0,03 po n okresach rozliczeniowych.
  K_n = K_0\cdot(1 + r)^n
  W tym zadaniu Kn = 5200 (co najmniej). Wzór ma postać
  5200 = 5000\cdot(1{,}03)^n
  Szukamy "n". Albo robimy to na kalkulatorze, mnożąc 5000 przez 1,03 do skutku, aż przekroczy 5200, albo - jeśli wolno, uzywamy logarytmów.
  Pierwsza metoda daje 5304 już dla n = 2. Druga metoda daje:
  n = (log(5200) - log(5000)) / log(1,03) = około 1,33. Ponieważ chodzi o czas, gdzie odsetki przekroczą 200, namy n = 2, jak poprzednio. Czyli - jeżeli te odsetki są na 3 miesiące, to czas = 6 miesięcy.
  (ale nie znam się na odsetkach aby powiedzieć, czy to prawda. Bank powie (??)
  
  Jeśli chodzi o podwajanie to mamy ten sam wzór, tylko teraz:
  10000 = 5000\cdot(1{,}03)^n
  To jest to zamo pytanie, jak: Kiedy (1,03)^n będzie większe od 2?
  Logarytmami:
  n = log(2) / log(1,03) = około 23,5. Czyli po 24 okresach - zakładając okres 3 miesięcy doaje to 8 lat. Uwaga, jak wyżej, co do odsetek.
  
  2) To jest ciąg o wyrazie a1 = x i iloczynie r = x^2.
  Zakładam, że x jest inne od 0 i x^2 jest inne od 1.
  Ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego:
  S = \frac{x}{1 - x^2} = \frac{-15}{16}
  Mnoże proporcję "na krzyż"
  16x = -15 * (1 - x^2). Dostaję równanie kwadratowe:
  15x^2 - 16x -15 = 0
  Delta = 16^2 - 4*15*(-15) = 1156 = 34^2
  x1 = (16-34) / 30 = - 3/5 x2 = (16 + 34) / 30 = 5/3
  
  Odrzucam 5/3, bo suma ciągu jest wtedy nieskończona. Wzór na skończoną sumę ciągu geometrycznego zakłada, że |x| < 1.
  Rozwiązanie:
  x = -3/5
  
  3) Czy to są takie ciągi ?
  b_n = a_{n+1} + 3a_n,~~c_n = -2a_n + n
  Jeśli tak, to w pierwszym przypadku:
  bn = 4an + r, gdzie r < 0, bo ciąg an jest malejący.
  Wyraz b(n+1) = a(n+1) + r. Różnica:
  b(n+1) - b(n) = a(n+1) + r - a(n) - r =a(n+1) - a(n) = r, co jest < 0, więc bn - ciąg malejący
  
  W drugim przypadku:
  c(n+1) = -2a(n+1) + (n +1) = -2a(n) - 2r + n + 1
  Różnica:
  c(n+1) - c(n) = -2a(n) - 2r + n + 1 - (-2a(n) + n)
  = -2an -2r + n + 1 + 2an - n = -2r + 1.
  Ale ponieważ r jest < zero to -2r + 1 jest > 0, ciąg jest rosnący.
  
  4a. Zauwaź, że jest to ciąg: 5, -5, 5, -5, czyli ciąg geometryczny,
  a1 = 5, q =-1.
  a_n = 5 \cdot (-1)^{n-1}
  
  4b. Ciąg jest naprzemienny:
  2, 1/2, 2, 1/2, .... i trzeba go zapisać osobno dla różnych n.
  an =
  2 dla n = 2m-1, m - liczba całkowita, dodatnia
  1/2 dla n = 2m.
  W szczególności NIE jest to ciąg geometryczny gdzie q = 1/4.
  
  Jak naprawdę chcesz, to można zrobić to jednym wzorem:
  a_n = 2 - \frac{3}{4}\cdot\Big(1 + (-1)^n\Big)
  :) Antek
  
  
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie