Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 8.5.2011 (21:07)

  Zad 1. We wszystkich punktach próbuję zgadnąć rozwiązania, sprawdzając podzielniki wyrazu wolnego. Poza tym zapisuję tak: x^2 czytaj "x do kwadratu" itp.
  
  a) Próbuję: -1, 1, -2, 2. Pasuje x = 1.
  Wielomian ma postać: (x - 1)(x^2 + Ax + B)
  Mnożę: x*3 + Ax^2 + Bx - x^2 -Ax - B = x^3 + (A - 1) x^2 + (B - A) x - B
  Porównuję z wielomianem z zadania współczynniki przy różnych potęgach x.
  A - 1 = 0
  B - A = 1
  -B = -2
  Stąd B = 2, A = 1. Postać iloczynowa: (x-1)(x^2 + x +2) = 0
  
  b) Próbuję -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6. Pasuje x = -2. Jak wyżej:
  (x+2)(x^2 + Ax + B) = x^3 + Ax^2 + Bx + 2x^2 + 2Ax + 2B. Porównuję:
  A + 2 = 2
  B + 2A = -3
  2B = -6. Stąd: B = -3, A = 0.
  Postać iloczynowa: (x+2)(x^2 - 3) = 0.
  Ale to nie koniec, bo wyrażenie w drugim nawiasie też da się rozłożyć
  (x+2)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0
  
  c) Tu jest łatwiej, bo x można od razu wyciągnąć przed nawias:
  x * (x^2 -6x + 9) = 0
  Wyrażenie w nawiasie jest pełnym kwadratem (x - 3)^2.
  Postać iloczynowa: x (x-3)^2 = 0
  
  d) Jeszcze inaczej. Oznaczam y = x^2 i mam równanie:
  y^2 - 8y - 9 = 0
  Delta = 8^2 - 4 * 1 * (-9) = 100 = 10^2
  y1 = (8 - 10) / 2 = -1; y2 = (8 + 10) / 2 = 9
  Równanie można więc zapisać jako:
  (y + 1)(y -9) = 0, a ponieważ y = x^2 to:
  (x^2 + 1)(x^2 - 9) = 0. Drugi nawias da się jeszcze rozłożyć
  Postać iloczynowa: (x^2 + 1)(x-3)(x+3) = 0
  
  Zad 2a. To tak ma być? Bo jak nie, to rozwiązanie jest złe.
  (6-4x)(x-5)^2 > 0
  Ponieważ kwadrat drugiego nawiasu jest nieujemny, pozostaje warunek:
  6 - 4x > 0 stąd
  x \in (-\infty, 3/2)
  
  Zad 2b. Jak pierwszy i drugi nawias pomnożę przez -1 to dostaję:
  (x^2 - 9)(x^2 - 1)(x + 1) < 0
  Można to rozpisać jako:
  (x-3)(x+3)(x-1)(x+1)(x+1) = (x-3)(x+3)(x-1)(x+1)^2 < 0
  Ostatni nawias, (x+1)^2, jest nieujemny, zostaje:
  (x-3)(x+3)(x-1) < 0
  Nie znam metody, jaką stosujecie na lekcjach do takich nierówności z iloczynem, krytyczne wartości x to -3, 1, 3.
  Dla x < -3 wszystkie nawiasy są ujemne (nierówność spełniona),
  potem od -3 do 1 dwa są ujemne, czyli iloczyn dodatni
  potem od 1 do 3 jeden ujemny - iloczyn ujemny
  dla x > 3 całość jest dodatnia. W rezultacie:
  x \in (-\infty, -3) \cup (1,3)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie