Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 29.4.2011 (18:24)

  Zad 1.
  Masz gotowy wzór na ilość przekątnych n-kąta? Użyj go. Jak nie, to wyprowadzimy.
  Z każdego z n wierzchołków można poprowadzić n - 3 przekątnych (różnych od boków wielokąta). Minus 3 dlatego, że przekątne są: nie do siebie, nie do 2 sąsiednich wierzchołków. Razem mamy:
  n * (n - 3) przekątnych. Ale każda przekątna liczona jest wtedy dwukrotnie - po razie dla każdego z jej końców. Stąd wzór na całkowitą ilość K przekątnych n-kąta wypukłego:
  K = n * (n - 3) / 2.
  U nas K = 119. Rozwiązujemy równanie:
  n(n-3)/2 = 119; stąd:
  
  n^2 - 3n - 238 = 0
  
  delta = 3^2 + 4*238 = 961 = 31^2
  n1 = (3 - 31)/2 = -14. Odrzucamy, chcemy dodatniej ilości boków
  n2 = (3+31)/2 = 17.
  Jest to 17-bok wypukły.
  
  Zad 2.
  Oznaczmy przez x długość tego boku, który jest "równym ramieniem", a przez y długość trzeciego boku.
  Wtedy:
  
  2x + y = 20 (obwód!)
  
  Trzeba teraz po prostu znaleźć całkowite (NIEZEROWE) x, y, które pasują.
  Zaczynamy od x =10 - za dużo, bo y = 20 - 2*10 = 0.
  1) x = 9 to y = 20-18 = 2
  2) x = 8 to y = 20-16 = 4
  3) x = 7 to y = 20-14 = 6
  4) x = 6 to y = 20-12 = 8
  5) x = 5 to y = 20-10 = 10.... STOP !
  Suma dwóch boków trójkąta, który nie degeneruje się do odcinka, ma być większa od trzeciego boku. A ten trójkąt, o bokach 5, 5, 10 się nie nadaje. Podobnie nie nadają się trójkąty dla których x = 4, 3, 2, 1.
  Odpowiedź: istnieją cztery takie trójkąty.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie