Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 27.4.2011 (13:38)

  f(x) = \frac{2x+2}{x-1}
  
  Dziedzina: mianownik nie może być zerem, czyli x różne od 1.
  D = R - {1}
  
  Miejsca zerowe: licznik musi być zerem, czyli 2x+2 = 0; stąd x = -1.
  
  Asymptoty:
  Pionowa tam, gdzie mianownik jest zerem, czyli dla x = 1.
  Jest jeszcze asymptota pozioma. Zapiszmy f(x) w ten sposób, dzieląc licznik i mianownik przez x:
  f(x) = \frac{2 + \frac{2}{x}}{1 - \frac{1}{x}} \rightarrow 2
  Dla x dążącego zarówno do + jak i do - nieskończoności funkcja dąży do 2.
  Asymptotą poziomą jest prosta:
  y=2
  
  Punkty przecięcia. Z osią OX jest to miejsce zerowe x = -1, czyli punkt (-1,0). Z osią OY: Gdy podstawimy x = 0 to f(0) = 2/(-1) = -2, jest to punkt (0,-2). Więcej nie ma.
  
  Rysunek i przedziały monotoniczności. Narysuj asymptoty, poziomą i pionową. Dla ujemnych x-ow wykres zaczyna się pod prostą y = 2, dąży do zera dla x = -1 a następnie do minus nieskończoności gdy x dąży do 1 z lewej strony. Następnie wykres z prawej strony x = 1 zaczyna się w plus nieskonczoności i cały czas maleje dążąc (od góry do prostej y = 2.
  Funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie.
  
  Nie wiem, jakie techniki uzywacie na lekcji aby matematycznie pokazać granice w okolicy pionowej asymptoty, nie będę więc o nich pisać. Poza tym nie wiem, czy wolno mi użyc pochodnej do udowodnienia, że funkcja jest malejąca cały czas. Jeżeli tak, to pochodna funkcji wynosi:
  f'(x) = \frac{-4}{(x-1)^2}
  Ponieważ w całej dziedzinie mianownik jest dodatni, a licznik ujemny, więc f'(x) < 0 dla każdego x należącego do dziedziny, stąd monotoniczność (malenie) funkcji w każdym punkcie dziedziny.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie