Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 27.4.2011 (11:28)

  Zrób rysunek, "odcinając" jeden wierzchołek w podany sposób, albo lepiej - model z ziemniaka.
  
  Skupmy się na jednej ściance sześcianu. Odcięto 4 wierzchołki, a to, co pozostało, jest kwadratem o polu równym połowie poprzedniego pola jednej ścianki. Do pola powierzchni wejdzie więc połowa poprzedniej powierzchni sześcianu (a było to 6 * 10^2 = 60, zostaje 30 cm^2). Dodatkowo dojdzie powierzchnia 8 trójkątów równobocznych powstałych po ucięciu wierzchołków. Bok takiego trójkąta jest połową przekątnej ścianki, jest więc równy:
  a = \frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{2} = 5\sqrt{2}
  Pole powierzchni trójkąta równobocznego o boku a wynosi
  S_t = a^2\frac{\sqrt{3}}{4} = (5\sqrt{2})^2\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{2}
  Całkowita powierzchnia S postałej bryły to:
  30 + 8\cdot\frac{25\sqrt{3}}{2} = 30 + 100\sqrt{3}
  
  Teraz objętość. Od całkowitej objętości sześcianu (10^3 = 1000) trzeba odjąć 8 razy objętość odciętych narożników. Jeden taki narożnik, jak go postawić na płaskim bokiem, będoącym trójkątem prostokątnym (NIE równobocznym) to ostrosłup o polu podstawy równym 5 * 5 / 2 = 25/2 i wysokości 5, więc jego objętość:
  V_1 = \frac{1}{3}\cdot\frac{25}{2}\cdot 5 = \frac{125}{6}
  Całkowita objętość V bryły wynosi:
  1000 - 8\cdot\frac{125}{6} = \frac{2500}{3} = 833\frac{1}{3}
  
  Bryła czywiście nie jest platońska bo jej ścianki nie są takimi samymi wielokątami foremnymi - część to kwadraty, część - trójkąty.
  
  Pozdro - Antek
  PS: W razie czego pisz na priv, zrobię rysunek, ale szczerze mi się nie chce :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie