Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 18.4.2011 (22:42)

  Gdybyś znał przyspieszenie "a" obręczy (styczne do równi) to v = a * t, zgoda?
  Pytanie, jak uwzględnić toczenie się obręczy, jak jest różnica między nią, a zsuwającym się klockiem.
  Zrób rysunek! Zacznij od rozłożenia siły ciężkości na styczną i prostopadłą do równi. Ta styczna jest równa
  F = m g \sin\alpha
  Ta prostopadła powoduje tarcie pomiędzy obręczą i równią. Nie licz jej, nie warto teraz. Oznaczmy tę siłę tarcia "T". Właśnie ona powoduje obrót obręczy. Jest przyłożona w punkcie styku obręczy i równi, dzięki temu ma niezerowy moment względem środka ciężkości obręczy. Sama siła ciężkości jest przyłożona w środku ciężkości i nie może spowodować obrotu, gdyż jej ramię ma długość zero.
  
  Dla ruchu obrotowego obowiązuje II zasada dynamiki (F= ma) ale w nieco innej formie:
  T R = I \varepsilon
  gdzie: T * R jest momentem działającej siły, I - momentem bezwładności obręczy względem jej środka ciężkości (chwilowego środka obrotu), epsilon - przyspieszeniem kątowym. Dla obręczy:
  I = m R^2 (m - masa obręczy)
  Moment siły napisałem jako iloczyn T * R, gdyż siła tarcia jest prostopadła do promienia (poprowadzonego od środka ciężkości do punktu styczności) i sinus kąta, występującego we wzorze na moment siły jest równy sin 90 = 1. Z wartością epsilon radzimy sobie tak:
  Tylko dlatego, że ruch odbywa się bez poślizgu zachodzi równość:
  a = \varepsilon R\qquad\mbox{zatem}\qquad\varepsilon = \frac{a}{R}
  gdzie "a" jest potrzebnym nam przyspieszeniem do wzoru v = a t.
  Wstawię teraz I, epsilon do równania na II zasadę dynamiki:
  T R = m R^2 \cdot\frac{a}{R}
  Wynika z tego, że T = m * a
  
  Teraz już łatwo: Stycznie do równi w dół działa siła mg sin alfa, w górę siła T. Różnica tych sił nadaje obręczy liniowe przyspieszenie a. Z II zasady dynamiki (teraz już dla ruchu postępowego)
  
  m a = m g \sin\alpha - T = m g \sin\alpha - m a
  
  Więc, po uproszczeniu masy m i przeniesieniu m*a na lewo:
  
  a = \frac{g\sin\alpha}{2}
  
  Ponownie tylko dlatego, że ruch odbywa się bez poślizgu prędkość liniowa v i kątowa omega związane są równaniem: v = omega * R. Więc:
  
  \omega = \frac{v}{R} = \frac{a t}{R} = \frac{g t \sin\alpha}{2R}
  
  Zróbmy obliczenia. Przedtem wymiary W liczniku są m/s^2 razy sekundy, czyli m/s. W mianowniku metry, zostaje 1/s.
  
  \omega = \frac{10\cdot 5\cdot\sin(30)}{2\cdot 0{,}05} = 250
  Zauważ, że zamieniłem centymetry na metry w "R" i to, że g = 10 m/s^2.
  
  Odp: Omega = 250 radianów / sekundę. NIE "obrotów / sekundę" !! Obrotów będzie 2 pi razy mniej, gdyż na pełny obrót potrzeba 2 pi radianów, omega = 2 pi * f, też może Ci się to przydać.
  
  Powodzenia na klasówce - Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie