Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 15.4.2011 (10:30)

  Są dwa sposoby:
  1) Badanie znaku różnicy A(n+1) - An
  2) Badanie ilorazu A(n+1) / An
  Który sposób wybrać - zależy od ciągu.
  
  a) Metoda z różnicą:
  A(n+1) - A(n) =
  = (n+1)^2 - 2(n+1) - n^2 + 2n = n^2 + 2n + 1 -2n -1 - n^2 + 2n = 2n
  Różnica A(n+1) - A(n) jest zawsze dodatnia dla n > 0 więc
  ciąg jest monotoniczne rosnący.
  
  b) Metoda z różnicą:
  A(n+1) - A(n) = 1 - (n+1)^2 - 1 + n^2 = 1 - n^2 - 2n - 1 - 1 + n^2 = -1 -2n
  Różnica A(n+1) - A(n) jest zawsze ujemna dla n > 0 więc
  ciąg jest monotoniczne malejący.
  
  c) Chyba ma być nawias w zapisie ciągu, czyli tak: (jak nie - moje rozwiązanie jest złe. To samo dotyczy dalszych przykładów).
  A_n = 1 - \frac{n}{n+1}
  Metoda z różncą:
  A_{n+1} - A_n = 1 - \frac{n+1}{n+2} - 1 + \frac{n}{n+1} = \frac{-(n+1) + (n+2)}{(n+1)(n+2)}
  (w drugim przejściu sprowadziłem do wspólnego mianownika różnicę ułamków).
  A(n+1) - A(n) = -1 / (n^2 + 3n + 2).
  Mianownik jest > 0 dla n > 0, licznik jest ujemny, więc i cała różnica jest ujemna. CIąg nest monotonicznie malejący.
  
  d) Też powinny być nawiasy w zapisie An.
  A_n = \frac{3n}{n+2}
  Metoda z różnicą:
  A_{n+1}-A_n = \frac{3n + 3}{n+3} - \frac{3n}{n+2} = 3\cdot\frac{(n+1)(n+2) - n(n+3)}{(n+2)(n+3}
  (wyciągnąłem 3 przed ułamek w drugim przejściu. Mianownik jest dodatni dla n > 0, a licznik jest równy:
  n^2 + 3n + 2 - n^2 - 3n = 2. Zawsze dodatni, więc cała różnica dodatnia dla n > 0.
  Ciąg jest monoronicznie rosnący.
  
  e) Też powinny być nawiasy w zapisie An.
  A_n = \frac{n}{2n-1}
  Metoda z różnicą:
  A_{n+1}-A_n = \frac{n+1}{2(n+1) - 1} - \frac{n}{2n-1} = \frac{(n+1)(2n-1) - n(2n+1)}{(2n + 1)(2n-1)}
  Mianownik dla n > 0 jest dodatni.
  Licznik = 2n^2 + 2n - n -1 -2n^2 - n = -1, zawsze ujemny.
  Różnica ujemna więc
  Ciąg jest mnotonicznie malejący.
  
  Zad 2. Metoda z różnicą:
  A(n+1) - An = (3-k^2)(n + 1) - (3 - k^2)n = (3-k^2)(n + 1 - n) = 3 - k^2.
  Ciąg jest rosnący, jeżeli różnica jet dodatnia, czyli gdy:
  3 - k^2 > 0. Daje to 3 > k^2 czyli ciąg jes rosnący dla
  k \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3}).

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie