Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 13.4.2011 (19:54)

  Najprościej to zgadywać: a_1 / a_n = 6561 / 243 = 27.
  Wygląda to na 3^3, więc q = 1/3 i cztery nagrodzone szkoły.
  Sprawdzamy:
  6561 + 6561 / 3 + 6561 / 9 + 243 = 9720. Zgadza się.
  
  Ale można zadanie rozwiązać na wzorach - nie umiem Cię nauczyć "dlaczego" postępuję jak poniżej, kwestia doświadczenia. Mamy 2 równania:
  Suma Sn pierwszych n wyrazów ciągu:
  S_n = a_1\cdot\frac{1-q^n}{1 - q}
  oraz wzór na n-ty wyraz
  a_n = a_1\,q^{n-1}
  Drugie równanie dzielę przez a1 i mnożę przez q
  (cel: wstawienie q^n do pierwszego równania)
  \frac{a_n}{a_1}q = q^n
  Pierwsze równanie mnożę przez 1 - q i podstawiam q^n z ostatniego równania
  S_n(1-q) = a_1\left(1 - \frac{a_n}{a_1}q\right)
  Wymnażam nawias po prawej stronie, porządkuję składniki, liczę q:
  q = \frac{S_n - a_1}{S_n - a_n} = \frac{9720 - 6561}{9720 - 243} = \frac{1}{3}
  Mam q, a skoro an = a1 * q^(n-1) to albo dzielę a1 przez 3 do skutku, albo korzystam logarytmów, jeśli wolno to robić. Oczywiście łatwiej dzielić przez 3:
  a1=6561, a2 = 2187, a3=729, a4=243. Bingo! Cztery szkoły.
  
  Używając logarytmów:
  \log a_n = \log\left(a_1\,q^{n-1}\right) = \log a_1 + (n-1)\log q
  Stąd:
  n = 1 + \frac{\log a_n - \log a_1}{\log q} = 1 + \frac{\log 243 - \log 6561}{\log (1/3)} = 4
  
  Pozdrowienia - Antek
  PS: Trudne zadanie!

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie