Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 6.4.2011 (13:09)

  Rysujemy trójkąt z zadania i oznaczamy tak: AB - przeciwprostokątna, C - wierzchołek przy kącie prostym, przy czym AC = 2, BC = 3/2.
  Rysujemy okrąg wpisany w trójkąt; jego środek oznaczamy O. Rysujemy promień tego okręgu prostopadły do boku AC i punkt przecięcia oznaczamy P. (pamiętaj, że boki trójkąta są styczne do
  okręgu wpisanego w ten trójkąt, więc punkt P jest dobrze określony).
  
  Ponieważ środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznej kąta C, to kąt PCO = 45 stopni.
  Kąt COP też wynosi 45 stopni, bo trzeci z kątów (czyli CPO) jest prosty. Trójkąt CPO jest więc równormiennym trójkątem prostokątnym, jak przecięty po przekątnej kwadrat, więc szukany odcinek CO ma długość r * pierwiastek(2), gdzie r - promień okręgu wpisanego w trójkąt.
  
  Do znalezienia r wykorzystamy twierdzenie, że pole trójkąta jest równe połowie sumy jego boków razy
  ten promień. Z drugiej strony pole to jest równe połowie iloczynu przyprostokątnych. Mamy równanie:
  
  AC * BC = r * (AB + BC + CA). Pozostaje znalezienie przeciwprostokątnej AB.
  
  Z tw. Pitagorasa: AB = pierwiastek( 2^2 + (3/2)^2 ) = 5/2.
  Wstawiamy AB do równania na r:
  
  r = 2 * (3/2) / (2 + 3/2 + 5/2) = 1/2
  
  Mamy promień okręgu wpisanego, zatem szukana odległość CO = r * pierwiastek(2).
  CO = pierwiastek(2) / 2.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie