Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 4.4.2011 (17:36)

  Zbadamy trójkąty prostokątne o bokach a, b, c (nazywam boki tak, że a < b < c),
  których boki tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r. Mamy: b = a + r, c = a + 2r.
  "c" jest najdłuższe z warunku a < b < c, jest więc to przeciwprostokątna.
  
  Z twierdzenia Pitagorasa: a^2 + (a + r)^2 = (a + 2r)^2.
  Obliczam wszystkie kwadraty i dostaję: a^2 + a^2 + 2ar + r^2 = a^2 + 4ar + 4r^2.
  Upraszczam, co się da i mam:
  3r^2 + 2ar - a^2 = 0.
  To równanie ma 2 rozwiązania (r jest niewiadomą) r = -a, oraz r = a / 3.
  Ponieważ "a" jest długością boku pierwsze z rozwiązań odpada, Drugie rozwiązanie daje
  zbiór trójkatów prostokątnych, których boki tworzą ciąg arytmetyczny.
  {a * 3/3, a * 4/3, a * 5/3}. Boki a, b, c tych trójkątów tworzą stałe stosunki:
  b/a = 4/3 oraz c/a = 5/3, nic więc dziwnego, że wszystkie takie trójkąty są do siebie podobne.
  (jeżeli weżmie się inny trójkąt prostokątny spełniający warunki zadania,
  o najkrótszym boku A i ułoży boki roznąco jako A, B, C, to B/A = 4/3 = b/a oraz C/A = 5/3 = c/a)
  
  Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie