Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  0 0

  antekL1 27.3.2011 (17:03)

  Nie wiem, co to jest "objętość pola powierzchni".
  Ale gdybym miał liczyć objętość, a osobno pole powierzchni całkowitej, to robiłbym tak:
  
  Podstawa tego graniastosłupa jest foremnym 6-kątem.
  Bok tego 6-kąta (oznaczam jego długość literą a) to pierwiastek(3) (bo ścianki są kwadratami,
  wobec tego a^2 = 3 (a^2 czytaj: "a do kwadratu").
  Najważniejsze jest teraz obliczenie pola podstawy (przyda się do objętości).
  6-kąt, jak się narysuje przekątne przez jego środek, to 6 trójkatów równobocznych o boku a.
  Pole jednego takiego trójkąta to (patrz podręcznik lub sieć) wynosi
  pierwiastek(3) / 4 * a^2. Więc pole całego 6-kąta to 6/4*pierwiastek(3) * a^2.
  
  Skończmy najpierw z polem powierzchni całkowitej.
  Jest to 2 razy podstawa + 6 razy ściany, czyli:
  S = 2 * 6/4*pierwiastek(3) * a^2 + 6 * a^2 = (3*pierwiastek(3) + 6) * a^2.
  
  Wielkość a^2 (pole 1 ścianki) wynosi 3. Podstawiamy:
  S = (3\sqrt{3} + 6)\cdot 3 = 9\sqrt{3} + 18 \,\approx\,33.6
  
  Objętość = pole podstawy * wysokość. Wysokość = a.
  V = 6/4*pierwiastek(3) * a^2 * a = 6/4*pierwiastek(3) * a^3. Pamiętamy, że a=pierwiastek(3).
  V = (6/4)\cdot\sqrt{3}\cdot(\sqrt{3})^3 = 27/2
  
  Przekątne. Najdłuższa jest łatwiejsza, bo to przeciwprostokątna trójkąta, którego jedna
  z przyprostokątnych to wysokość (równa a), a druga to "średnica" podstawy, czyli 2a,
  Z tw. Pitagorasa długość L1 wynosi:
  L_1 = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{5} = \sqrt{15}
  Druga jest trudniejsza, bo przyprostokątna leżąca na podstawie to odcinek łączący dany
  i drugi z kolei wierzchołek 6-kąta. Jak sobie to narysujesz, to zobaczysz, że długość tej
  przyprostokątnej to a * pierwiastek z 3. (tam powstaje trójkąt o jednym z kątów = 30 stopni).
  Wobec tego długość L2 krótszej przekątnej wynosi:
  L_2 = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = a\sqrt{3+1} = 2a = 2\sqrt{3}
  
  To tyle. Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie