Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  0 0

  antekL1 24.3.2011 (19:24)

  "Do kwadratu" często się pisze tak: x^2 znaczy x do kwadratu. Znaczek ^ to SHIFT-6.\
  
  Wszystkie przykłady robi się tak samo.
  Ogólnie jeżeli y = ax^2 + bx + c to:
  a) Miejsca zerowe: Wyznacza się tzw. "deltę" (inne słowo: wyróżnik).
  Wzór, uwzględniając przykład jak wyżej, ten z ax^ + bx +c:
  delta = b^2 - 4ac.
  Miejsca zerowe istnieją, jeżeli delta jest dodatnia lub zero. Na Twoim pierwszym przykładzie:
  y = -x^2 + 6x - 9. Mamy a= -1, b = 6, c = -9, więc (znaczek * to mnożenie)
  delta = 6^2 - 4 * (-1) * (-9) = 36 - 36 = 0.
  Akurat mamy szcxególny przypadek, gdy delta = 0 to jest tylko jedno miejsce zerowe.
  Z podręcznika można wyczytać, że jest ono równe -b/(2a), w naszym wypadku (-6) / (2 * (-1)) = 3.
  
  b)
  W tym przykladzie dokładnie w x = 3 leży mierzchołek wykresu, gdyż określa się go
  z tego samego wzoru: x_wierzcholka = -b/(2a).
  
  c) nie rozumiem, o co chodzi.
  
  d) Postać "kanoniczna" to taka: y = a* (x - A)^2 + B, natomiast "iloczynowa" to y = a * (x - x1) * (x - x2),
  gdzie a to współczynnik przy x^2, A, B wyznaczamy, x1, x2 to miejsca zerowe.
  W tym przykładzie oba miejsca zerowe są takie same, x1 = x2 = 3, natomiast a = -1,
  więc postać iloczynowa to: y = (-1) * (x-3) * (x-3) = -(x-3)^2
  Akurat w tym szczególnym wypadku postać kanoniczna jest taka sama.
  
  Weźmy przykład y = x^2 - 8x + 15. Mamy a = 1, b = -8, c = 15.
  delta = 8^2 - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4.
  Delta jest dodatnia, istnieją więc 2 miejsca zerowe, x1, x2. Oblicza się je tak:
  x1 = (-b - pierwiastek(delta)) / (2a), x2 = (-b + pierwiastek(delta)) / (2a)
  (jak widzisz, zmienia się tylko znak przy pierwiastek(delta), dlatego w poprzednim przykładzie,
  gdzie delta była zerem, mieliśmy 2 takie same miejsca zerowe. Teraz nie.
  Pierwiastek(delta) = pierwiastek(4) = 2.
  Wobec tego x1= (-(-8) - 2) / (2 * 1) = (8 - 2) / 2 = 3, oraz x2 = (8 + 2) / 2 = 5.
  
  Współrzędna x wierzchołka x = -b/(2a) = -(-8) / (2 * 1) = 8 / 2 = 4.
  Ta współrzędna to także średnia arytmetyczna x1 i x2, można ją w ten sposób liczyć.
  
  Postać iloczynowa: y = (x - 3) * (x - 5).
  Postać kanoniczna: Są gotowe wzory w podręczniku, ale pokażę, jak to się robi.
  Mamy mieć y = (x - A)^2 + B (brak "a" przed nawiasem, bo a = 1).
  Wymnażamy kwadrat: y = x^2 - 2Ax + A^2 + B.
  Porównujemy z oryginałem: y = x^2 - 8x + 15. Współczynniki przy jednakowych potęgach "x"
  mają być takie same, czyli:
  przy x^2 mamy jedynki
  przy x mamy -2A oraz -8, stąd A = 4. Nieprzypadkowo A jest równe x wierzchołka. Ma tak być!
  Potem mamy A^2 + B, z drugiej strony 15, czyli 4^2 + B = 14 stąd B = -1.
  y = (x-4)^2 - 1 to postać kanoniczna.
  
  W trzecim przykładzie y = 3x^2 -8x. Akurat tutaj możemy sobie ułatwić życie: Zauważ, że:
  y = x * (3x - 8)
  Miejsca zerowe wobec tego to albo x1 = 0, albo 3x - 8 = 0, czyli x2 = 8/3.
  Delty nie trzeba w takim wypadku liczyć. Wierzchołek to średnia x1, x2, czyli 4/3.
  Postać iloczynową napisaliśmy powyżej, a postać kanoniczna: Pamiętamy, że A to wsp. wierzchołka.
  Współrzędna przy x^2 (czyli a) jest równa 3. Mamy:
  y = 3 * (x - 4/3)^2 + B. Wymnażamy kwadrat:
  y = 3 * (x^2 - 8/3 x + 16/9) + B = 3x^2 - 8x + 16/3 + B. Aby to było równe 3x^2 -8x musi zachodzić
  B = -16/3. Zatem postać kanoniczna to: y = 3 (x - 4/3)^2 - 16/3.
  
  Wreszcie w ostatnim przykładzie a = -1, b = -7, c = -15.
  Delta = (-7)^2 - 4 * (-1) * (-15) = 49 - 60 = -11 Delta jest ujemna, miejsc zerowych brak.
  Wierzchołek to -(-7) / (2 * (-1)) = -7/2.
  Nie ma miejsc zerowych, to nie ma postaci iloczynowej.
  Postać kanoniczna: A = 7/2 (wierzchołek z minusem). y = -(x+7/2)^2 + B.
  Mnożymy kwadrat: y = -(x^2 + 2 * (7/2) x + 49/4) + B = -x^2 -7x - 49/4 + B.
  Stąd -49/4 + B = -15 czyli B = (-60 + 49)/4 = -11/4.
  Postać kanoniczna: y = -(x+7/2)^2 - 11/4. Nic dziwnego, że nie ma miejsc zerowych,
  bo -(x+7/2)^2 jest ujemne lub zero (kwadrat jest dotatni lub zero, a mamy minus przed nawiasem),
  poza tym -11/4 jest ujemne, czyli y zawsze jest ujemne.
  
  W podręczniku znajdziesz DOKŁADNE wzory na wielkości w zadaniu, a poza tym może wyjaśni się
  punkt c.
  
  Pozdro - Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie