Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  0 0

  antekL1 24.3.2011 (15:22)

  Rozumiem, że płotek, stosowany do ogrodzenia kwadratowej piaskownicy (mający długość
  4a = 4*3 = 12 m) całkowicie zużyto do budowy 8-kątnej piaskownicy. Boki foremnego 8-kąta
  są równe, więc długość jego boku d = 12 / 8 = 1.5 metra. (obwody obu figur, kwadratu i 8-kąta
  są jednakowe).
  
  Część b) jest trudniejsza. Jeżeli wolno mi się posłużyć gotowym wzorem na pole n-kąta foremnego,
  gdzie d jest długością boku, alfa - kątem, pod którym widać bok z centrum wielkokąta,
  n - ilością boków to, dla n = 8 mamy alfa = 360 / 8 = 45 stopni i dostajemy na pole S wzór:
  S = \frac{1}{4} n d^2 ctg(\alpha/2) = \frac{1}{4}\cdot 8 \cdot (1.5)^2 \cdot ctg(45/2) \,\approx\, 10.86
  
  Jeżeli trzeba wyprowadzić wzór na pole wielokąta, to robi się to tak: trójkąt, z którego
  widać bok z centrum 8-kąta jest równoramienny, kąt przy wierzchołku będącym środkiem
  wynosi alfa. Wysokość trójkąta z tego wierzchołka tworzy z bokiem kąt alfa/2, stąd
  alfa/2 we wzorze. Pole jednego takiego trójkąta to 1/2 podstawa * wysokość,
  czyli 1/2 * d * h. Ale h = d/2 * ctg(alfa/2), czyli pole trójkąta to 1/4 d^2 * ctg(alfa/2).
  Jest n (u nas n = 8) takich trójkątów, stąd wzór.
  
  Pole powierzchni nie zmniejszy się, ale wzrośnie o około 10.86 - 3*3 = 1.86 metra kwadrat.
  Nic dziwnego, bo 8-kąt jest bardziej zbliżony do okręgu, niż kwadrat, a okrąg z figur o tym samym
  obwodzie ma największe pole. Dla porównania pole okręgu o obwodzie 12 m (czyli promieniu
  12 / (2pi) byłoby równe pi * (12/2pi)^2 = około 11.46 m^2, czyli jeszcze więcej niz pole 8-kąta.
  
  Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie