Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  0 0

  Kaczorro 27.4.2010 (17:46)

  Niech P_c oznacza pole powierzchni całkowitej, P_p pole podstawy, a P_b pole powierzchni bocznej. Przekątną ściany bocznej oznaczymy jako d, długość krawędzi podstaw jako a, a wysokości graniastosłupa nadamy miano h. Oczywiście a, h > 0, oraz, jak mówi polecenie, d = 8cm.
  
  Wiemy też, że:
  
  P_c = P_b + 8\sqrt{3}cm^2
  
  Pole powierzchni całkowitej możemy równiez wyrazić jako sumę pól obu podstaw i pola powierzchni bocznej:
  
  P_c = 2P_p + P_b
  
  2P_p + P_b = P_b + 8\sqrt{3}cm^2
  
  2P_p = 8\sqrt{3}cm^2
  
  P_p = 4\sqrt{3}cm^2
  
  Podstawy są trójkątami równobocznymi, zatem, znając krawędź takiego trójkąta, czyli a, możemy łatwo policzyć jego pole:
  
  P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}
  
  \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}cm^2
  
  a^2 = 16cm^2, a ponieważ a > 0:
  
  a = \sqrt{16cm^2} = 4cm
  
  Mamy długość krawędzi podstawy. Spójrzmy na ścianę boczną. Każda ściana boczna to prostokąt o bokach a i h oraz przekątnej d. Na mocy twierdzenia Pitagorasa:
  
  a^2 + h^2 = d^2, a skoro h > 0, to:
  
  h = \sqrt{d^2 - a^2}
  
  h = \sqrt{64cm^2 - 16cm^2} = 4\sqrt{3}cm
  
  Dysponujemy teraz wszystkimi potrzebnymi długościami. Aby policzyć sumę długości wszystkich krawędzi L, zerknijmy, jakie są potrzebne: graniastosłup ten ma 6 krawędzi długości a (po 3 w każdej podstawie) oraz 3 krawędzie o długości h. Zapiszmy więc:
  
  L = 6a + 3h
  L = 6 \cdot 4cm + 3 \cdot 4sqrt{3}cm = (24 + 12\sqrt{3})cm
  
  Objętość V policzymy ze wzoru:
  
  V = P_p h
  V = \frac{(4cm)^2\sqrt{3}}{4} \cdot 4\sqrt{3}cm = 48cm^3
  
  Podsumowując:
  a) L = (24 + 12\sqrt{3})cm
  b) V = 48cm^3

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie