Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  0 0

  agusia00022 8.11.2010 (20:29)

  może to ci się przyda:
  Definicja 1.13 zawiera w sobie informację, iż dla dostatecznie dużych wartości n
  (dla n większych od pewnego m) elementy ciągu leżą „bardzo blisko” granicy,
  czyli a g n dla dowolnie małej dodatniej wartości . Na przykład
  elementy ciągu an = 1/n leżą coraz bliżej liczby g = 0 dla coraz większych n.
  Zauważmy, że zmiana ma wpływ na miejsce m, od którego wszystkie
  następne wyrazy ciągu leżą bliżej niż w odległości .
  Notacja. Symbol „granicy ciągu” to: lim an = g lub an g dla n (przy
  symbolu granicy ciągu zawsze będzie „ciche” założenie, iż n ).
  Przykład wyznaczenia granicy ciągu z definicji: czy 1/n 0 ?
  Dla dowolnego > 0 znaleziony zostanie indeks m taki, aby
  n m a g n : dla an = 1/n oraz g = 0. Wybierzmy i sprawdźmy, od
  którego miejsca wyrazy ciągu leżą bliżej niż od granicy g = 0.
  n n
  a g n
  1
  0
  1
  dla n m
  1
  ,
  czyli dla
  1
  m będącego pierwszą (mówimy - najmniejszą) liczbą naturalną,
  jaka przekracza liczbę rzeczywistą
  1
  . Wtedy
  n
  n m a g n
  1
  : .
  * Przykład wyznaczenia granicy ciągu z definicji: czy 3 1 n ?
  Dla dowolnego > 0 znaleziony zostanie indeks m taki, aby
  n m a g n : dla an = n 3 oraz g = 1. Wybierzmy i sprawdźmy, od
  którego miejsca wyrazy ciągu leżą bliżej niż od granicy g = 1.
  22
  3 1 3 1 n n
  n a g dla n log 3 m 1 ,
  czyli dla log 3 1 m będącego pierwszą (mówimy - najmniejszą) liczbą
  naturalną, jaka przekracza liczbę rzeczywistą log 3 1 . Wtedy
  : 3 1 n
  n n m a g .
  Własności granic dwóch ciągów zbieżnych
  1) Suma ciągów zbieżnych: jeżeli an g oraz bn h , to (an + bn) (g+h).
  Jeżeli dwa ciągi mają granicę, to suma tych ciągów także posiada granicę
  równą sumie granic.
  Przykład: lim 1/n = 0, lim 5 = 5, zatem lim (5+1/n) = 5+0 = 5.
  2) Różnica ciągów zbieżnych: jeżeli an g oraz bn h , to (an -bn) (g-h).
  Jeżeli dwa ciągi mają granicę, to różnica tych ciągów także posiada granicę
  równą różnicy granic.
  Przykład: lim 6/n = 0, lim 5/n = 0, zatem lim (5/n-6/n) = 0-0 = 0.
  3) Iloczyn ciągów zbieżnych: jeżeli an g oraz bn h , to (an bn) (g h).
  Jeżeli dwa ciągi mają granicę, to iloczyn tych ciągów także posiada granicę
  równą iloczynowi granic.
  Przykład: lim 9/n = 0, lim (-1/n) = 0, zatem lim (9/n) (-1/n) = 0 0 = 0.
  W szczególności, gdy bn = b = const. (ciąg stały), to (an b) (g b).
  23
  Przykład: lim (9/n) = 0, lim 7 = 7, zatem lim 7(9/n) = 70 = 0.
  4) Iloraz ciągów zbieżnych: jeżeli an g oraz bn h , to (an / bn) (g / h) o ile bn 0 i h 0.
  Jeżeli dwa ciągi mają granicę, to iloraz tych ciągów także posiada granicę równą ilorazowi granic pod warunkiem, iż ciąg z mianownika ma niezerowe wyrazy oraz granicę różną od zera. Przykład: lim 9/n = 0, lim 2 = 2, zatem lim 9/(2n) = 0/2 = 0.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie