Treść zadania

Najlepsze rozwiÄ…zanie

• 

  0 0

  Konto usunięte 7.11.2010 (21:24)

  y=x^{3}+3x^{2}
  
  1) dziedzina
  
  D=R=(-\infty, +\infty)
  
  Wniosek: Nie ma asymptot pionowych.
  
  2) granice w końcach przedziałów określoności
  
  \lim_{x\to-\infty} (x^{3}+3x^{2})= \lim_{x\to-\infty} [x^{3}(1+\frac{3}{x})] = -\infty
  
  \lim_{x\to+\infty} (x^{3}+3x^{2})= \lim_{x\to+\infty} [x^{3}(1+\frac{3}{x})] = +\infty
  
  Wniosek: Nie ma asymptot poziomych.
  
  3) punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych
  
  a) miejsca zerowe funkcji
  
  x^{3}+3x^{2}=0
  
  x^{2}(x+3)=0
  
  x^{2}=0 \ lub \ x+3=0
  
  x=0 \ lub \ x=-3
  
  punkty (0,0), (-3,0)
  
  b) punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY
  
  x=0 \ to \ y= 0^{3}+3\cdot 0^{2} =0
  
  punkt (0,0)
  
  5) parzystość, nieparzystość funkcji
  
  f(x)= x^{3}+3x^{2}
  
  f(-x)= (-x)^{3}+3(-x)^{2}= -x^{3}+3x^{2}
  
  f(x) \neq f(-x) funkcja nie jest parzysta
  
  -f(x)=-(x^{3}+3x^{2})=-x^{3}-3x^{2}
  
  f(-x) \neq -f(x) funkcja nie jest nieparzysta
  
  6) pierwsza pochodna
  
  f'(x)=3x^{2}+6x
  
  dziedzina pierwszej pochodnej D_{f'}=R
  
  7) punkty podejrzane o ekstremum
  
  f'(x)=0 \Longleftrightarrow 3x^{2}+6x=0
  
  3x(x+2)=0
  
  3x=0 \ lub \ x+2=0
  
  x=0 \ lub \ x=-2
  
  8) monotoniczność funkcji
  
  Wykresem pierwszej pochodnej jest parabola, która ma ramiona do góry i miejsca zerowe 0 i – 2. [nie dali tu narzędzi do rysowania]
  
  Przyjmuje ona wartości ujemne dla x \in (-2,0). W tym przedziale funkcja jest malejąca.
  
  Przyjmuje ona wartości dodatnie dla x \in (-\infty,-2) \cup (0,+\infty). W tych przedziałach funkcja jest rosnąca.
  
  Wniosek:
  
  W punkcie x = - 2 pochodna ma wartość zero i zmienia znak z plusa na minus, zatem funkcja osiąga maksimum lokalne.
  
  f_{max}=f(-2)= (-2)^{3}+3(-2)^{2}=-8+12=4
  
  W punkcie x = 0 pochodna ma wartość zero i zmienia znak z minusa na plus, zatem funkcja osiąga minimum lokalne.
  
  f_{min}=f(0)= (0)^{3}+3(0)^{2}=0
  
  9) druga pochodna
  
  f''(x)=6x+6
  
  dziedzina drugiej pochodnej D_{f''}=R
  
  10 i 11) wypukłość i punkt przegięcia wykresu funkcji
  
  miejsce zerowe drugiej pochodnej:
  6x + 6 = 0
  x = - 1
  
  znak drugiej pochodnej:
  6x + 6 < 0
  x < - 1 [funkcja jest wklęsła]
  6x + 6 > 0
  x > - 1 [funkcja jest wypukła]
  
  W punkcie x = - 1 jest punkt przegięcia wykresu funkcji
  
  f(-1)= (-1)^{3}+3(-1)^{2}=-1+3=2
  
  12) tabelka
  W tabelce należy umieścić wszystkie wyznaczone wyżej wartości x, czyli -3, -2, -1, 0 i przedziały miedzy nimi.
  
  \begin {tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & (-\infty,-3) & -3 & (-3,-2) & -2 & (-2,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,+\infty) \\ \hline f'(x) & + & + & + & 0 & - & - & - & 0 & + \\ f''(x) & - & - & - & - & - & 0 & + & + & + \\ f(x) & \nearrow & 0 & \nearrow & f_{max}=4 & \searrow & 2(pp) & \searrow & f_{min}=0 & \nearrow \\ \end {tabular}
  
  [Nie mogę znaleźć tego błędu :( ]
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie