Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  Konto usunięte, 1.11.2010 (06:04)

  Drut o długości 8 m podzielono na dwie części. Jedną zgięto w kwadrat a drugą w okrąg.
  Przy jakim podziale drutu suma pól kwadratu i koła ograniczonego otrzymanym okręgiem jest najmniejsza?
  
  x – część, z której zrobiono okrąg
  r – promień okregu
  
  2 \pi r =x
  
  r=\frac{x}{2 \pi}
  
  8-x –część, z której zrobiono kwadrat
  a – bok kwadratu
  
  4a=8-x
  
  a=\frac{8-x}{4}
  
  S – suma pół kwadratu i koła
  
  S=a^{2} + \pi r^{2}
  
  Podstawiamy wyznaczone wcześniej a oraz r. S jest funkcją zmiennej x.
  
  S(x)=(\frac{8-x}{4})^{2} + \pi \cdot (\frac{x}{2 \pi})^{2}
  
  S(x) = \frac{64-16x+x^{2}}{16} + \pi \cdot \frac{x^{2}}{4 \pi^{2}}
  
  S(x) = 4-x+\frac{1}{16}x^{2} + \frac{1}{4 \pi}x^{2}
  
  S(x) = (\frac{1}{16}+\frac{1}{4 \pi})x^{2}-x+4
  
  S(x) = \frac{ \pi + 4}{16 \pi}x^{2}-x+4
  
  S jest funkcją kwadratową. Współczynnik a>0. Zatem S przyjmuje wartość najmniejszą dla
  
  x=\frac{-b}{2a}=\frac{1}{\frac{ \pi + 4}{16 \pi}} = \frac{16 \pi}{ \pi + 4}
  
  Aby suma pół kwadratu i koła była najmniejsza, drut należy podzielić na części:
  x=\frac{16 \pi}{ \pi + 4}
  
  8-x=8-\frac{16 \pi}{ \pi + 4} = \frac{8(\pi+4)-16\pi}{\pi+4} =
  
  = \frac{8\pi+32-16\pi}{\pi+4} = \frac{32-8\pi}{\pi+4}

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie