Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  0 0

  Konto usunięte 1.11.2010 (01:10)

  Wyrażenia wymierne
  zad. 1.
  a)
  \frac{-4x}{x-4} - \frac{2x}{x+2} = \farc{-4x(x+2) -2x(x-4)}{(x-4)(x+2)} =
  = \frac{-4x^{2} - 8x -2x^{2} + 8x}{x^{2} + 2x -4x -8} = \frac{-6x^{2}}{x^{2} -2x -8}
  
  b)
  \frac{3}{x+2} + \frac{4}{x-3} = \frac{3(x-3)+4(x+2)}{(x+2)(x-3)} =
  = \frac{3x-9+4x+8}{x^{2}-3x+2x-6} = \frac{7x-1}{x^{2}-x-6}
  
  c)
  \frac{4x-12}{x+2} \cdot \frac{2x+4}{2x-6} = \frac{4(x-3)}{x+2} \cdot \frac{2(x+2)}{2(x-3)} = 4
  
  d)
  \frac{2x}{x^{2}-9} : \frac{6x^{2}}{x^{2}-6x+9} = \frac{2x}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{(x-3)^{2}}{6x^{2}} =
  = \frac{2x}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{(x-3)(x-3)}{2x \cdot 3x} = \frac{x-3}{(x+3)\cdot 3x} = \frac{x-3}{3x^{2}+9x}
  
  zad. 2.
  a)
  \frac{6x-1}{5x-4} = -3
  zakładamy, że
  5x-4 \neq 0
  x \neq \frac{4}{5}
  wówczas:
  6x+1 = -3(5x-4)
  6x+1 = -15x + 12
  21x = 11
  x = \frac{11}{21}
  
  b)
  \frac{3}{4} = \frac{4x-11}{6x+2}
  zakładamy, że
  6x+2 \neq 0
  x \neq - \frac{1}{3}
  wówczas:
  3(6x+2) = 4(4x-11)
  18x + 6 = 16x -44
  2x = -50
  x = -25
  
  c)
  \frac{2}{2x+3} - \frac{x-1}{x-3} = 0
  zakładamy, że
  2x+3 \neq 0 \ i \ x-3 \neq 0
  x \neq - \frac{3}{2} \ i \ x \neq 3
  wówczas:
  \frac{2}{2x+3} = \frac {x-1}{x-3}
  2(x-3) = (2x+3)(x-1)
  2x-6 = 2x^{2} - 2x +3x - 3
  
  2x^{2} -x +3 = 0
  
  \Delta = 1 -24 < 0
  x \in \emptyset
  
  zad. 3.
  a)dziedzina:
  -7x^{3} + 2x^{2} = 0
  x^{2}(-7x+ 2) = 0
  x^{2} = 0 \ lub \ -7x + 2 = 0
  x = 0 \ lub \ x = \frac{2}{7}
  D = R -\{0, \frac{2}{7}\}
  
  \frac{6x^{4} + 5x^{2}}{-7x^{3} +2x^{2}} = \frac{x^{2}(6x^{2} +5}{x^{2}(-7x + 2)} = \frac{6x^{2} +5}{-7x + 2}
  
  b) dziedzina:
  x^{2}-6x-7 = 0
  \Delta = 36 + 28 = 64
  \sqrt \Delta = 8
  x_{1} = \frac{6-8}{2} = -1
  x_{2} = \frac{6+8}{2} = 7
  D = R -\{-1, 7\}
  mianownik:
  x^{2}-6x-7 = (x+1)(x-7)
  teraz rozłożę na czynniki licznik
  x^{2}-5x-14 = 0
  \Delta = 25 + 56 = 81
  \sqrt \Delta = 9
  x_{1} = \frac{5-9}{2} = -2
  x_{2} = \frac{5+9}{2} = 7
  licznik:
  x^{2}-5x-14 = (x+2)(x-7)
  zatem:
  \frac{ x^{2}-5x-14}{ x^{2}-6x-7} = \frac{(x+2)(x-7)}{ (x+1)(x-7)} = \frac{x+2}{x+1}
  
  Trygonometria
  zad. 1.
  należy wykonać rysunek pomocniczy (nie ma na tej stronie żadnych narzędzi)
  x – szukana odległość
  
  tg \alpha = \frac{25}{x}
  0,0875 = \frac{25}{x}
  x = \frac{25}{0,0875} \approx 285,7143
  
  zad. 2.
  należy wykonać rysunek pomocniczy (jak wyżej)
  h – wysokość drzewa
  h = x + 1,5
  \frac{x}{65} = tg 29^{o}
  x = 65 \cdot tg29^{o}
  h = 1,5 + 65 \cdot tg 29^{o}
  x \approx 1,5 + 65 \cdot 0,5543
  x \approx 37,5295
  
  zad. 3.
  należy wykonać rysunek pomocniczy
  h – wysokość budynku
  \frac{h}{19} = tg 55^{o}
  h = 19 \cdot tg 55^{o}
  h \approx 19 \cdot 1,4281
  h \approx 27,1339
  
  zad. 4.
  a)
  \sin \alpha = 0,8 \ i \ \alpha \ jest \ katem \ ostrym
  \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1
  (0,8)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1
  0,64 + \cos^{2} \alpha = 1
  \cos^{2} \alpha = 1-0,64
  \cos^{2} \alpha = 0,36
  \cos \alpha = 0,6
  
  tg \alpha = \frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha}= \frac{0,8}{0,6} = \frac{4}{3}
  
  ctg \alpha = \frac{1}{ tg \alpha } = \frac{3}{4}
  
  b)
  \cos \alpha = \frac{12}{13} \ i \ \alpha \ jest \ katem \ ostrym
  \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1
  \sin^{2} \alpha + (\frac{12}{13})^{2} = 1
  \sin^{2} \alpha + \frac{144}{169} = 1
  \sin^{2} \alpha = 1- \frac{144}{169}
  \sin^{2} \alpha = \frac{25}{169}
  \sin \alpha = \frac{5}{13}
  
  tg \alpha = \frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha}= \frac{5}{13} \cdot \frac{13}{12} = \frac{5}{12}
  
  ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha } = \frac{12}{5}
  
  c)
  tg \alpha = 2 \ i \ \alpha \ jest \ katem \ ostrym
  
  \left\{\begin{array}{l} \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 2\\ \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \end{array}
  
  \left\{\begin{array}{l} \sin \alpha = 2 \cos \alpha \\ (2 \cos \alpha)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 \end{array}
  
  \left\{\begin{array}{l} \sin \alpha = 2 \cos \alpha \\ 4 \cos^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \end{array}
  
  \left\{\begin{array}{l} \sin \alpha = 2 \cos \alpha \\ 5 \cos^{2} \alpha = 1 \end{array}
  
  \left\{\begin{array}{l} \sin \alpha = 2 \cos \alpha \\ \cos^{2} \alpha = \frac{1}{5} \end{array}
  
  \left\{\begin{array}{l} \sin \alpha = 2 \cos \alpha \\ \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5} \end{array}
  
  \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}
  
  \sin \alpha = 2 \cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}
  
  ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha } = \frac{1}{2}
  
  d)
  ctg \alpha = \sqrt{2} \ i \ \alpha \ jest \ katem \ ostrym
  
  tg \alpha = \frac{1}{ctg \alpha} = \frac{\sqrt{2}}{2}
  
  \left\{\begin{array}{l} \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \end{array}
  
  \left\{\begin{array}{l} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \alpha \\ (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \alpha)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 \end{array}
  
  \left\{\begin{array}{l} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \alpha \\ \frac{1}{2} \cdot \cos^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \end{array}
  
  \left\{\begin{array}{l} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \alpha \\ \frac{3}{2} \cdot \cos^{2} \alpha = 1 \end{array}
  
  \left\{\begin{array}{l} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \alpha \\ \cos^{2} \alpha = \frac{2}{3} \end{array}
  
  \left\{\begin{array}{l} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \alpha \\ \cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} \end{array}
  
  \cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}}
  
  \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
  
  Wielomiany
  zad. 1.
  a)
  u(x) + w(x) = 2x^{7} +3x^{4} +4x-5 +2x^{7} +3x^{4} +5x +8 =
  = 4x^{7} + 6x^{4} +9x +3
  jest to wielomian stopnia 7
  u(x)-w(x) = 2x^{7} +3x^{4} +4x-5 -(2x^{7} +3x^{4} +5x +8) =
  =2x^{7} +3x^{4} +4x-5 -2x^{7} -3x^{4} -5x -8 =-x-13
  jest to wielomian pierwszego stopnia
  b)
  u(x) + w(x) = 3x^{4}-2x+7-3x^{5}+6x^{4}-x^{2}-x =
  = -3x^{5}+9x^{4} -x^{2}-3x +7
  jest to wielomian stopnia 5
  u(x) -w(x) = 3x^{4}-2x+7-(-3x^{5}+6x^{4}-x^{2}-x) =
  = 3x^{4}-2x+7+3x^{5}-6x^{4}+x^{2}+x =
  = 3x^{5}-3x^{4} +x^{2}-x +7
  jest to wielomian stopnia 5
  
  zad. 2
  a)
  x^{4}-2x^{2} = x^{2}(x^{2}-2) =
  = x^{2}(x- \sqrt{2})(x+ \sqrt{2})
  b)
  6x^{5}-x^{4}+x^{3} = x^{3}(6x^{2}-x+1)
  c)
  2x^{8}-2x^{7}+x^{6} = x^{6}(2x^{2}-2x+1)
  d)
  x^{4}+x^{3}+4x^{2}+4x = x^{3}(x+1) + 4x(x+1) =
  = (x+1)(x^{3}+4x) = (x+1)x(x^{2}+4) = x(x+1)(x^{2}+4)
  e)
  2x^{3}-2x^{2}-x+1 = 2x^{2}(x-1)-1(x-1) = (x-1)(2x^{2}-1) =
  = (x-1)(\sqrt{2}x-1)(\sqrt{2}x+1)
  
  zad. 3.
  a)
  w(-3) = 2 \cdot (-3)^{3}-6 \cdot (-3)^{2} +3 =
  = 2 \cdot (-27)-6 \cdot 9 +3 = -54-54 +3 = -105
  w(1) = 2 \cdot (1)^{3}-6 \cdot (1)^{2} +3 = 2-6+3 = -1
  b)
  w(-3) = 5 \cdot (-3)^{3}+(-3)^{2}-8 =
  = 5 \cdot (-27) +9 -8 = -135+9-8 = -134
  w(1) = 5 \cdot (1)^{3}+(1)^{2}-8 = 5+1-8 = -2
  c)
  w(-3) = 3 \cdot (-3)^{3}-4 \cdot (-3)+1 =
  = 3 \cdot (-27) +12 +1 = -81+12+1 = -68
  w(1) = 3 \cdot (1)^{3}-4 \cdot 1+1 = 3-4+1 = 0
  
  Uff... Mam nadzieję, że się nie pomyliłam. Okno edycji jest mikroskopijne, a mój wzrok już nie taki jak kiedyś... :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie